bezier&bspline_曲线

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1、1962年法国雷诺(Renault)汽车公司的贝塞尔(P.E.Bezier)构造的一种以逼近为基础的用控制多边形定义曲线和曲面的方法；Bezier曲线是由一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一定义出来。Bezier曲线Bezier曲线的数学表达式Bernstein基函数的性质Bezier曲线的性质－端点性质Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、变差缩减性Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线PBezier曲线的矩阵表示—三次Bezier曲线Be

2、zier曲线的矩阵表示—三次Bezier曲线三次Bezier曲线的基函数t=0.4B1,3B2,3B0,3B3,3Bezier曲线的矩阵表示—三次Bezier曲线的Horner格式表示的生成算法三次Bezier曲线的Horner算法程序structpoint{floatx;floaty;}voidmain(){pointp[10];floatt=0;inti,degree;charfn[20];pointcoordinate[21];printf(“Inputthenumberofdegree”);scanf(

3、“%d”,°ree);printf(“Inputdatafilename”);scanf(“%s”,fn);for(i=0;i<=degree;i++)fscanf(“%d,%d”,&p[i].x,&p[i].y);for(i=0;i<=20;i++){t=i*0.05;coordinate[i]=hornbez(degree,p,t);}}三次Bezier曲线的Horner算法程序pointhornbez(intdegree,point*coeff,floatt){inti,n_choose_i;flo

4、atfact,tl;pointaux;t1=1-t;fact=1.0;n_choose_i=1;aux.x=coeff[0].x*t1;aux.y=coeff[0].y*t1;aux.z=coeff[0].z*t1;for(i=1;i

5、)*t1;aux.z=aux.z+fact*n_choose_i*coeff[i].z)*t1;}aux.x=aux.x+fact*t*coeff[degree].x;aux.y=aux.y+fact*t*coeff[degree].y;aux.z=aux.z+fact*t*coeff[degree].z;returnaux;}Bezier曲线的拼接两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。Bezier曲线的生成Bezier曲线的缺点1、特征多边形的顶点个数n

6、+1决定了Bezier曲线的阶次，即只能生成n次曲线，不灵活。2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的控制明显减弱。3、由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线做局部修改成为不可能。1972年Gordon、Riesenfeld和Forrest等人拓广了Bezier曲线，用Ｂ样条基函数代替Bernstein基函数，构造了B样条曲线。B样条曲线保留了Bezier曲线的优点，克服了Bezier曲线的缺点。是一种分

7、段连续曲线。B样条曲线B样条曲线定义：已知n+1个控制点，k次B样条曲线为：节点向量ti=i（0，1，2，…,n+K)均匀：ti+1-ti=常数（=1）周期：C0(u)=p(0)N03+p(1)N13+p(2)N232<=u<=301234567u1N0.5C1(u)=p(1)N13+p(2)N23+p(3)N333<=u<=4N03N13N23N33N43均匀周期B样条曲线B样条曲线分类均匀周期B样条曲线的数学表达式第i个特征多边形（Pi,Pi+1,…,Pi+n)B样条曲线示例一次B样条曲线基函数：n=1，k=0

8、,1一次B样条曲线曲线表达式（代数形式/矩阵形式）二次B样条曲线基函数：n=2，k=0,1,2二次B样条曲线曲线表达式（代数形式/矩阵形式）二次B样条曲线曲线性质二次B样条曲线曲线性质二次B样条曲线示例i=00<=t<=101234i=10<=t<=112i=20<=t<=123二次均匀周期B样条曲线三次B样条曲线基函数：n=3，k=0,1,2,3三次B样条