第8章 多元风险模型

《第8章 多元风险模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8章　多元风险模型【考试内容】8.1多元风险模型的概念8.2存续时间与终止原因的联合分布与边缘分布联合分布与边缘分布终止力函数存续整年数与终止原因的联合分布8.3随机存续群体与确定存续群体随机存续群体确定存续群体8.4伴随单风险模型和多元风险表的构造伴随单风险模型中的函数特殊假设下的独立终止率特殊假设下的终止概率近似计算8.5趸缴纯保费中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com【要点详解】§8.1多元风险模型的概念多元风险模型：在实际中，往往需要考虑多种影响状态未来存续时间的因素，在单一生命状态保险模型的基础上，将同时考虑导致状

2、态终止的因素并将其视为随机变量，这种模型被称为多元风险模型。在多元风险模型中，状态的终止不仅限于被保险人的死亡，也包括由解约、退休、残废及期满等。中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com§8.2存续时间与终止原因的联合分布与边缘分布1．联合分布与边缘分布仍记状态（x）的未来存续时间为T(x)，简记为T，状态（x）终止的原因记为J(x)，简记为J。随机变量T与J的分布可由联合概率密度函数f(t，j)给出，T的值域为[0，+∞]，J的值域为{1，2，3，…，m}，m为一自然数。（1）①由原因j导致状态（x）在时间t内终止的概率为：②

3、状态（x）在时间t前终止的概率，即不论何种原因导致状态（x）在时间t前终止的概率为：状态（x）在时间t仍存续的概率为：③状态（x）将由原因j导致终止的概率为：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com（2）①随机变量J的边缘密度函数：②随机变量T的边缘密度函数：随机变量T的边缘分布函数：2．终止力函数（1）①多元风险模型中，将状态（x）在x+t岁的终止力定义为：则有：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com②多元风险模型中，由原因j导致状态（x）在x+t岁终止的终止力定义为

4、：于是联合概率密度函数可用精算符号表示为：③各种原因导致状态终止的概率及各种原因产生的终止力都具有可加性，它们的和分别为终止概率和终止力，即④随机变量T的边缘密度函数：随机变量J的边缘密度函数：状态（x）在t时刻终止，J的条件密度函数为：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com3．存续整年数与终止原因的联合分布状态（x）未来存续整年数K=[T]与终止原因J的联合分布律为：其中为已知状态（x）存续到x+k岁后由原因j导致其在下一年内终止的概率。而其在下一年终止的概率为：【例题8.1】在m元风险模型中，已知：则h(3

5、T=5)=（　

6、　）。【答案】B【解析】因为所以中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com【例题8.2】在三元风险模型中，已知：（j=1，2，3），则=（　　）。A．0.14B．0.18C．0.20D．0.23E．0.30【答案】D【解析】由已知，有：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com§8.3随机存续群体与确定存续群体1．随机存续群体（1）考虑一个由个年龄为a岁的人组成的群体，其中每个人在未来离开该群体的时间和原因的联合分布由密度函数确定。在x岁到x+n岁之间，由于原因j而将离开群体

7、的人数是个随机变量，记为，x≥a。其数学期望记作，则有：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com（2）在x岁到x+n岁之间将离开群体的人数记为，x≥a。其数学期望记作，则有：到x岁时仍在该群体的人数也是一个随机变量，记为L(τ)(x)。其数学期望记作，则：令n=1，s=t－（x－a），得到在x岁到x+1岁之间由于原因j而离开群体的人数的均值为：2．确定存续群体（1）考虑一个由个a岁的人组成的群体，在未来某一年龄x，群体中仍存续的人数由年终止率确定，即如果群体中每个人在未来年龄y岁离开群体的终止力为，y≥a，则：中华精算师考试网w

8、ww.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com所以有在x岁到x+1岁之间离开群体的人数为：（2）在年龄x岁时对于原因j的终止力为：在所有m个终止原因都起作用的情况下，个存续者中在x岁到x+1岁之间由原因j而离开群体的人数为：中华精算师考试网www.1000jss.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com【例题8.3】（中国精算师考试样题）在一个二重损失模型中，计算=（　　）。【答案】E【解析】