第二章 因次分析

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1、模型试验及量测技术第二章因次分析2.1因次与单位因次（dimension）:表征物理量的性质与类别,或称量纲。单位（unit）：度量各种物理量数值大小的标准。因次与单位的关系因次的分类基本因次：彼此相互独立，有长度、时间、质量（力）导出因次：由基本因次推导出来，如速度、加速度等因次有因次的量：数值大小随单位的变换而改变无因次的量：数值大小不随单位的变换而改变物理量因次关系式:2.1因次与单位因次独立条件（幂积不是无因次数，或不存在非零解，即只有零解）（存在惟一解）2.1物理量的因次、量度单位和因次式因次独立的基本物理量的选取方法所选取的一组基本物理量中分别含有几何学物理量、运

2、动学物理量和动力学物理量；几何学物理量：物理量的因次仅是长度[L]；运动学物理量：物理量因次表达式中含有时间[T]而不含质量[M]（或力[F]）；动力学物理量：物理量的因次含有质量[M]（或力[F]）。2.2因次和谐原理一、因次和谐原理因次和谐原理：任一物理方程中的各个项的因次必须相同；或所有的物理方程都必定是齐次性的，即因次和谐。无量纲方程：如果一个物理方程经过变化后，方程中各项都变为无因次数，则该物理方程称为无量纲方程。因次和谐原理的重要性因次和谐方程的文字结构形式不随量度单位的更换而变化。（伯努利方程）用因次和谐原理可以确定物理方程中各物理量的指数。（瑞利法）2.2因次

3、和谐原理瑞利法已知某一物理过程与几个物理量有关，记为其中的某个物理量可以表示为其它物理量的指数的乘积形式：2.2因次和谐原理例1：一弦长为L的单摆,摆端有质量为m的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆动周期t的表达式。2.2因次和谐原理瑞利法基本步骤找出物理过程的参变量；写出函数的指数关系式；选定基本因次，整理、归并得出函数的因次关系式；根据因次和谐原理，列出因次和谐方程组，联立求解出各参变量的指数值；将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加整理、化简；通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性，确定表达式中的待定系数或指数，获得描述该物理现象的完整的表达式。2

4、.2因次和谐原理瑞利因次分析方法的局限性只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积；所建立方程式的正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、完整；方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析求得；只有当参变量不大于4个时，才能求解由3个基本因次构成的因次和谐方程组，求得不大于三个的待定指数，从而建立方程式的具体形式。2.2因次和谐原理作业水平圆管中的层流流量Q，通过实验知道它与圆管半径r、单位管长上的压差以及流体的动力粘滞系数等因素有关系，即，请根据瑞利法推导出圆管层流流量的计算公式：2.3π定理及应用一、π定理（Buckingham定理）π定理：如果任意一

5、个物理过程涉及到n个物理量，若取此n个物理量中的m个作为基本因次，则此物理过程可由这n个物理量组成的n-m个无因次量的函数关系式来描述，这n-m个无因次量用πi(i＝1、2、3、…、n-m)来表达。π定理证明:2.3π定理及应用2.3π定理及应用2.3π定理及其应用注意并非所有的物理过程，都能利用π定理来确定物理过程的函数表达式。在力学问题中，m的数量最大等于3，如多于3，就要引入附加的物理常数。π定理的应用步骤找出影响物理现象的n个主要参变量，写成函数形式；选出m(一般m=3)个基本参变量，并保证是因次独立的；2.3π定理及其应用将有n个因变量的函数关系式转换为（n-m)个

6、π项的无因次关系式。各个π项表示为根据因次和谐原理，列出各待定指数的联立方程式，求解得出各指数，回代到各个无因次πi表达式，得出πi的表达式。检验所求解常数，确保它们均为无因次数。将所有的常数表示为无因次方程式。2.3π定理及其应用二、π定理在因次分析中的应用例1：设影响圆球在流体中运动时引起的粘滞阻力FD与流体的密度ρ、动力粘滞系数μ、球体与流体的相对速度v以及表征球体的特征面积A有关。利用π定理建立圆球的粘滞力公式。2.3π定理及其应用例2:利用π定理确定粘性流体在光滑圆管中均匀流动的阻力损失公式。2.3π定理及其应用三、π定理的作用求各变量之间的某种联系；可以把参变量组

7、合为个数减少了的无因次量，使问题得到简化；可以使一些纯经验公式具有理论上的正确形式。经过因次分析把包含若干个参变量的函数式转换为只包含几个无因次数的函数式，而这些无因次数往往就是该函数式所描述的物理现象互为相似的一族相似准数，它们也正是设计模型试验所必须遵循的相似准则。2.3π定理及其应用四、因次分析时要注意的问题遗漏了主要参变量，引入了次要变量或完全无关的变量。取了较多没有决定性意义的物理量，造成方程中出现累赘的因次。把有因次的某些常数或系数视为无因次数而未作为参变量；遇到因次相同而物理意义不同的量，