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1、一、空间解析几何1.垂直和平行a⊥b的充分必要条件是a.b=0a//b的充分必要条件是b=两向量垂直，则上式等于02.向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：3.直线、平面方程求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。【解】取=（-4,2,1)为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【解】直线L1和L2的方向向量依次为s1=(1,-4,1)、s2=(2,-2,-1).设直线L1和L2的夹角为,则所以（1）点法式求过三点Ml(2,-1，4)、M2（-l,3，-2）和M3(0,2,3）的平面的方程。由平面的点法式方程，得
2、所求平面方程为（2）截距式设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求平面方程其中a、b、c均不为0，则平面方程为如，在方程Ax＋By＋Cz+D=0中，当D=0时，方程表示一个通过原点的平面；当A=0时，方程表示一个平行于x轴的平面；当A=B=0时，方程表示一个平行于xOy的平面。类似地，可得其他情形的结论。4.平面与平面两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面Ⅱ1,:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，则Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式确定：由此可
3、得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点P0（x0，y0，z0）到平面的距离，有以下公式：5、二次曲面旋转曲面柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。例如球面：椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。（二）旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面以x轴为旋转轴的旋转双曲面已知旋转曲面
4、的母线C的方程为旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z）＝0中的y换成，便得曲线c绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。（三）柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。例如，以xOy平面上的圆x2+y2＝R2为准线，平行于z轴的直线为母线的圆柱面以xOy平面上的抛物线y2＝2x为准线，平行于z轴的直线为母线的抛物柱面在空间直角坐标系中，如果曲面方程F(x,y，z)＝0中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。例如，方程F(x，y)＝0一般表示一个母线
5、平行于z轴的柱面，方程G(x,z）=0,H(y,z)=0一般表示一个母线平行于y轴，x轴的柱面。一、微分学函数可微分的充分必要条件函数y=f（x）在点x0可微分的充分必要条件是f（x）在点x0可导，且当f（x）在点x0可导时，其微分一定是函数的微分是基本微分公式与微分法则1．基本微分公式2．函数和、差、积、商的微分法则设函数u=u（x）、v＝v（x）均可微，则3．复合函数的微分法则设、均可微，则也可微，且【例】［解］【例】［解］4、中值定理与导数的应用（一）罗尔中值定理1．若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f（a）=f
6、（b），则至少有一点ξ∈（a，b），使得f'（ξ）＝0。2．拉格朗日中值定理若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a,b）内可导，则至少有一点ξ∈（a，b），使得下式成立5、求未定式的值的方法：罗必达法则1．未定式与的情形关于的情形：设（1）当x→a（或x→∞）时，f（x）→0且F（x）→0,（2）在点a的某去心邻域内（或当｜X｜>N时）,f'（x）及F'（x）都存在且F'（x）0,则若仍属型，且f'（x）、F'（x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即对于型，也有相应的洛比达法则【解】属型，运用罗必塔法则，得【解】属型，运用罗必塔
7、法则，得【解】属0·型，通过变形化为，然后运用罗必塔法则，得2．其他形式的未定式的情形其他尚有0·、-、00、1、0型的未定式，它们均可通过变形化成或的情形。如0·型可变形成或，-型通过通分，00、1、0通过取对数变形。（三）函数性态的判别1．函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表1-2-1所示。2．函数极值的判定一阶导数为零的点称为驻点，对于连续函数，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点。3．曲线凹、凸及其拐点的判定连续曲线y=f（x）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果f"（x0）=0,而f"（x）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0，
8、f（xo））就是一个拐点。4．曲线的渐近线若=y0，则曲线y=f（x）有水平渐近线y=y0;若
