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《gauss-seidel迭代矩阵求法的思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵的某种范数，则迭代法对任意的初始向量都收敛于方程组的精确解。从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法是否收敛，就要知道迭代矩阵（当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代一定收敛），Jacobi迭代矩阵为，Gauss-Seidel迭代矩阵这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆。从上高等代数时学到矩阵的逆开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵A的逆,这就必须求出A的行列式与A的伴随矩阵,对于求矩阵A的行
2、列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此，这儿还要求出矩阵A的伴随矩阵。如果矩阵，则，而其中的，因此求的计算量比求A的行列式的计算量还要大的多，所以很难求。因此数学家便开始寻找求的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即对进行初等行变换，当把A变成E时，E便变成了，此方法要简单的多，但在变换过程中要消耗大量空间。在用迭代法解线性方程组的方法中，都涉及到了一个矩阵的逆，而且其涉及到的还不仅仅是一个矩阵的逆那么简单，其涉及到的是用一个矩阵的逆去乘另一个矩阵，如果一步一步算，想要算出矩阵的逆，再算两个矩阵相乘，没有一步是简单的，两步计算过程都很繁琐，极
3、易出错。仔细观察后，我发现正是因为矩阵的逆与另一矩阵相乘，从而在整体上出现了相对简单的计算，其过程是略去矩阵逆的计算，从而简化计算。对于n介线性方程组，即，其系数矩阵非奇异且，对，则可建立①Jacobi迭代格式:我们知道Jacobi迭代矩阵为,其中，，。由式⑵可看出，计算，首先需求出,然后再作矩阵乘法。当然这儿由于的特殊性，很好求，=，如果我们抛开式⑵，直接看⑴，就会发现，其实可以直接写出来，无需计算，由⑴可得，其直接从线性方程组中得来，显然快于一步步的计算，而且第二中算法不仅简单还不容易出错，提高了求迭代矩阵的效率。当然，第一种算法的可以直接写出很好求，从而效率也没提
4、高多少，但对于Gauss-Seidel迭代，就不然了。②Gauss-Seidel迭代格式：我们知道Gauss-Seidel迭代矩阵,其中矩阵D,L,U与上述⑶中一样。但此处就不是太好求了，即使它是个下三角矩阵。然而求出后，还要进行矩阵的乘法，因为即：计算有点繁琐，然而，我产生一种想法，其是否也可与Jacobi迭代矩阵那样,直接写出来了？通过一番计算，再加上实例的体会，我找出了一种相对简洁的关系。把⑷式写成把1）代入2）并整理得（由于我们的目的是得到矩阵，所以在此就不考虑了）2’）令，则1）变为①。此时2’）式变为2^)。令，则2^)式变为②。把①、②式代入3）式整理得3
5、’）令则3’）式变为③……如此一直在前一步的基础上求后一步矩阵中的元素的值，一直进行下去，则n-1)式变为则第n个式子变为即从而得到Gauss-Seidel迭代矩阵（*）接下来我用书上一个例子来展现上述方法求迭代矩阵的优越性：例设方程组为试分别写出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代格式以及相应的迭代矩阵。解：原方程的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式分别为⑴和⑵由⑴可直接得Jacobi迭代矩阵为而相应的Gauss-Seidel迭代矩阵可由（*）式得：与书上用公式算所得结果相同，但这种计算显然很简洁。对于3阶以上的迭代矩阵的计算，我的方法将
6、会节约大量时间，而且还不容易出错。以上我们讨论的是方阵，但从（*）式可以看出，我们也可以求出不是方阵的，这便给人一种想法，是否不是方阵时也可用迭代法求其解，但有一点是肯定的，当方程个数少于未知数个数时，线性方程组有无穷多解，因此这个问题有可能是否定的，即无法用迭代法求系数矩阵不是方阵的解，此问题还有待研究。以下是我写的有关我的新方法的matlab代码，其中也包含书上的方法求迭代矩阵的代码，我输入一个四阶的系数矩阵，由两种方法所得出的Gauss-Seidel迭代矩阵完全相同。Matlab代码：%求Gauss-Seidel矩阵functionG_SB(A)[m,n]=siz
7、e(A);ifm~=ndisp('系数矩阵不是方阵')returnend%%用矩阵运算求Gauss-Seidel迭代矩阵D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=tril(A,-1);disp('矩阵运算求出的迭代矩阵')B1=inv(D+L)*U,%%B=zeros(m,n);forj=2:nB(1,j)=-A(1,j)/A(1,1);endfori=2:mforj=2:nk=1:i-1;ifi>=jB(i,j)=sum(-A(i,k)*B(k,j))/A(i,i);continueendB(i,j)=(sum(-A
