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1、论文题目：《函数凹凸性的几个应用》刊物（出版物）名称：《中学理科》作者排名：第 1 位期次：2006 年 1 月 第1 期论文页码起迄： 第 6 页- 第7 页刊号（书号）：ISSN1002-6363CN45-1279/G4主办者：广西教育学院杂志社刊出（出版）日期：2006 年1 月 1 日函数凹凸性的几个应用以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年各种考试中层出不穷,屡见不鲜.而作为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题人的青睐,以函数凸性为背景出题更是一大热点.虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但通过第二课堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究,横向发散是大
2、有裨益的.一.函数凹凸性简介定义:若函数在区间上连续,对任意恒有则称是下凸函数.则称是上凸函数.判定定理:若函数在连续且在内具有一阶和二阶导数,则若在内,则在是上凸的.若在内,则在是下凸的.注意:①.以上等号当且仅当时取到.②.凹凸性可以推广到定义域中的任意n个点,如:若是上凸函数,则有③.若是线性函数,则与凸性相同;当时,函数与的凸性相同;函数与函数的凸性相反.④.图象特征如下:下凸函数上凸函数二.函数凹凸性的几个应用1.证明不等式和比较大小有些不等式虽然看起来简单,但通过常规的证明方法和技巧很难奏效,这就需要我们另辟蹊径.应用凸函数的性质不但可以少走弯路,使解题更加合
3、理,而且借助于几何特征可以使解题思路更加清晰直观.【例1】在锐角中,求证:简析:设【例2】已知简析:注:利用函数凹凸性证明不等式的关键在于构造或引进我们所需的辅助函数,使条件和结论,已知和未知建立起联系.2.求最值从不等式的证明中我们可以看到,如果不等式的一边为常数,便可以用函数的凹凸性来去最值(或极值),从而避开繁琐的化简,变形,放缩,转化等过程.【例3】简析:【例4】简析注:对条件最值问题的求法有两条基本思路:其一是利用均值不等式取“=”的条件;其二是将约束条件代入表达式中（或反过来）化为无约束条件的最值问题.而利用凸性求解最值为第一条出路开辟了新的途径.3.数形结合
4、函数凸性揭示了函数（或拐点两侧）因变量随自变量变化而变化的快慢程度,如果结合函数的其它性质,可使我们对图象的描绘更加精确.【例5】如图,半径为2的⊙M切直线于，射线从出发绕点顺时针方向旋转至交⊙M于。记为弓形的面积为，则的图象为（）PMcBAOOBAOoOODC简析由题意可得由函数凸性判定定理可知：注:定义域定界,奇偶性定性,而凸性确定了图像的局部细节,了解凸性能使图像的描绘更加精确化.在解决函数增长率的过程中,通过二阶导数适当的介绍,使学生在推理过程中以数解形,消除了估算带来的疑虑,对实际问题的变化规律有了更加深刻的认识.论文题目：《习题教学的探究性思考》刊物（出版物）
5、名称：《中学数学教与学》作者排名：第 1 位期次：2006 年6 月 第6 期论文页码起迄： 第31 页- 第 32 页刊号（书号）：ISSN1009-2919CN11-4303/G4主办者：中国人民大学刊出（出版）日期：2006年6 月1 日习题教学的探究性思考思维是从解决问题开始的,而认识问题和明确地提出问题是解决问题的第一步,其主要任务是找出问题的本质,抓住问题的核心.作为数学教学主体的习题教学更应在识题和提出问题的环节中帮助学生树立目标意识,自觉地挖掘出题目本身的导向功能,从而使他们在做题,析题方面养成一个良好的解题习惯.这对培养学生分析和解决问题的能力,发展学
6、生的智力品质是一种有效的途径.特别是对一些具有深刻背景的典型习题更不能轻易放过其教学价值.以下是我在高考复习中，针对学生的特点，引导学生对一道习题展开的探究性思考，仅供参考参考，以求商榷。原题：已知函数求证：这道题是一道不等式的证明题,目的是考察学生掌握不等式证明的基本方法------比较法.学生通过变形易得从而得证.但如果我们了解到这道题所含的特殊背景,便可以从以下几个方向引导学生进行创造性思考.一.特殊与一般的思考启疑若将原函数改为则会对结论产生怎样的影响？探究学生重新审视刚才的解题过程,不难发现作差的结果变为故当当点评二次项系数a不但改变了结论.同时使函数图像发生了
7、实质的变化（下凸变为上凸）。二.联想与类比的思考启疑若将函数改为我们熟悉的那么参数a的取值范围是否对结论产生同样的影响？试以为例证明.探究学生通过多种方法的尝试,得出以下有效的途径.令求导得即点评参数a的变化同样影响了图像凹凸性的改变.对也可以通过作商,构造函数,利用最值求得类似的结果：三.归纳与猜想的思考启疑从以上对特殊函数的探究，我们知道的大小取决于a的范围,而a的变化会直接影响函数图像凹凸性的改变,那么是否有某种规律性的结论适用于其它已知或未知的函数呢？探究学生通过交流,讨论容易得出以下两种结果：对①.对上凸函数②.对下
