角平分线定理和直角三角形射影定理

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1、第一讲相似三角形的判定及有关性质选修4-1几何证明选讲角平分线定理及直角三角形的射影定理一、平行线分线段成比例定理：复习ABCPD三角形内角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，练习：ABCPDE三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。三角形角（内、外）平分线定理：三角形两边之比等于其夹角或夹角的外角的平分线外分对边之比。二、直角三角形的射影定理1、射影的定义：直角三角形射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。两条条直角边分别是它们在斜边上的射影和

2、斜边的比例中项。ABCD（1）利用面积关系可以得到哪些线段的比例关系？（2）图中有哪些三角形相似？由三角形相似可得到哪些线段的比例关系？练习：1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=4，DB=16，则CD=，AC=,BC=.CBADO作业：课本：P22#1已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的

3、比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM∴AB/AC=MB/MC方法2（相似形）过C作CN∥AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB/AC=MB/MC证明3图方法3（相似形）过M作MN∥AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC而在△ABC内，∵MN∥AB∴AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB/AC=MB/MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作

4、用，对证明无影响）由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,∴AB/AC=MB/MC