第05讲 矩阵转置和逆

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1、矩阵2.3矩阵的转置对称矩阵2.4可逆矩阵的逆矩阵第5讲第2章2.3矩阵的转置对称矩阵定义2.11把矩阵A=(aij)mn的行列依次互换得到nm矩阵,称为A的转置矩阵,记作AT矩阵的转置运算满足以下运算律:(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT(k是数量);(4)(AB)T=BTAT;(5)AT=A(A1A2An)T=AnTA2TA1T证明(4)(AB)T=BTAT。设A=(aij)mn,AT=(aTji)nm,B=(bij)ns,BT=(bTji)sn，则(AB)T与BTAT都是sm矩

2、阵，且故(AB)T=BTAT。j=1,,s;i=1,,m定义2.12则称A为对称矩阵；则称A为反对称矩阵。n阶反对称矩阵A的主对角元都为零，因为由aii=aii即得aii=0(i=1,2,,n)。A为对称矩阵的充要条件是AT=A;A为反对称矩阵的充要条件是AT=A。例1设A是mn矩阵，则ATA和AAT都是对称矩阵。因为ATA是n阶矩阵,且(ATA)T=AT(AT)T=ATA;同理AAT是m阶对称矩阵。必须注意，两个对称矩阵A和B的乘积不一定是对称矩阵。因为，(AB)T=BTAT=BA而BA不一定等于AB。例2设A,B分别是n阶对称和反对称矩

3、阵，则AB+BA是反对称矩阵。因为(AB+BA)T=BTAT+ATBT=(B)A+A(B)=(AB+BA)。2.4可逆矩阵的逆定义2.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B使得BA=AB=I,则称矩阵A是可逆的，称B为A的逆矩阵，记作B=A1.(或B是可逆的且A=B1)如单位矩阵I是可逆的，且I1=I,因为I·I=I显然A,B是平等的，B也是A的逆，定理2.2若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。证设B,C都是A的逆矩阵，即BA=AB=CA=AC=I，则∴B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C所以，A的逆矩阵是唯一的可见，A可逆的必要条件

4、是

5、A

6、≠0.即A是非奇异的。下面来证明，

7、A

8、≠0也是A可逆的充分条件。为此，引入伴随矩阵的概念。定义2.14设A=(aij)nn,Aij是detA中aij的代数余子式,称cofA=(Aij)nn为A的代数余子式矩阵，其转置矩阵A*=(cofA)T称为A的伴随矩阵，记作A*。由教材pp.59~60的例题6，可知AA*=A*A=

9、A

10、I当

11、A

12、≠0时，定理2.3矩阵A可逆的充要条件是A0。且且A可逆时，其逆为证必要性：若A可逆，则存在B使得AB=I,于是AB=AB=I=1,故A0。充分性:用构造性证法。若A0,由A

13、A*=A*A=

14、A

15、I，推论1设A，B都是n阶矩阵,且AB=I,则BA=I,即A，B都可逆，并互为逆矩阵。证由AB=I,得AB=AB=I=1,故A0，B0,即A，B都可逆。AB=IA1(AB)A=A1IA=I,即BA=I推论2对角阵、上（下）三角阵可逆的充要条件是主对角元全部不为零。注意:A,B都可逆，而A+B不一定可逆，即使A+B可逆,一般地(A+B)1A1+B1。例1是否可逆？若可逆,求其逆矩阵。解：A=40,A可逆(非奇异)。A11=3,A12=4,A13=5,A21=3,A22=0,A23=

16、1,A31=1,A32=4,A33=3,C=0,故C不可逆。例2解：B=ad-bc,当ad-bc0时,B可逆,其逆矩阵为可逆矩阵的运算性质（A,B为n阶可逆矩阵，数k0)A*=An-1(A1)1=A(kA)1=k1A1(AB)1=B1A1(AT)1=(A1)TA1=A1(A1A2Ak)1=Ak1A21A11´(Ak)1=(A1)k＝Ak´´(A1,A2,,Ak均可逆);证(kA)(k1A1)=(kk1)(AA1)=1I=I。(AB)(B1A1)=A

17、(BB1)A1=AIA1=AA1=I。因为AA*=AI,AA*=An,A*=An-1。由AA1=I,得(AA1)T=(A1)TAT=I；(AT)1=(A1)T。由AA1=I,得

18、A

19、

20、A1

21、=1,

22、A

23、0,A1=A1。例3设方阵B为幂等矩阵(即B2=B),A=I+B,证明：A是可逆阵，且A1=(3IA)/2。证由B=AI,B2=(AI)2=A22A+I及B2=B=AI得A22A+I=AIA23A=A(A3I)=2I,即A[(3IA)/2]=I∴A可逆，且A

24、1=(3IA)/2。例4主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且注意：例5设A为n阶可逆对称