理论力学 非惯性参考系

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1、第五章非惯性参考系§5.1不同参考系之间速度和加速度的变换固定坐标——惯性系动坐标系——非惯性系动坐标系：A=Axi+Ayj+Azk固定坐标：dA/dt=dAx/dti+dAy/dtj+dAz/dtk动坐标+Axdi/dt+Aydj/dt+Azdk/dt动相对固定动坐标系：A=Axi+Ayj+Azk固定坐标：dA/dt=dAx/dti+dAy/dtj+dAz/dtk+Axdi/dt+Aydj/dt+Azdk/dt讨论(1)仅有转动(角速度ω相对固定坐标系）∵dr/dt=ω×r∴di/dt=ω×i,dj/dt=ω×j,d

2、k/dt=ω×k.记δA/dt=dAx/dti+dAy/dtj+dAz/dtk则有:dA/dt=δA/δt+ω×A转动参考系算符变换：d/dt=δ/δt+ω×例:质点的位置矢量r，求v，a。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牵a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+ω×(ω×r)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r)+2ω×(δr/δt)=a相+a牵+a科a相=δ2

3、r/δt2a牵=(δω/δt)×r+ω×(ω×r)a科=2ω×(δr/δt)dA/dt=δA/δt+ω×A运算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)Cω×(ω×r)=ω(ω·r)-ω2r=ω2(OB-OP)=-ω2R对于角速度ω，角加速度为ββ=dω/dt=δω/δt+ω×ω=δω/δt说明角加速度与坐标系无关。RrωBPO例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速ω绕O转动。P点以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，P点走过AB，如AB=b，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。PAByzxOω(2)

4、平动+转动固定坐标系中位矢rI与动坐标系r之间关系:rI=R+rd2rI/dt2=d2R/dt2+d2r/dt2=d2R/dt2+δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r)+2ω×(δr/δt)或a=a平+a相+β×r-ω2R+2ω×v相若等角加速度转动β=0，无平动加速度a平=0，则：a=a’-ω2R+2ω×v’§5.2非惯性系中的动力学方程惯性力惯性系中：md2rI/dt2=F非惯性系：m2r/t2=F-m[d2R/dt2+βr+ω(ωr)+2ωv’]=Feff1、平移力-md2R/dt2←动系

5、平动加速2、方位力-mβr←动系转动加速3、惯性离心力-m[ω(ωr)←动系相对固定系转动4、科里奥利力-2mωv’←质点相对动系运动例：在光滑水平直管中有一质量为m的小球。此管以匀角速ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为a,球相对管的速率为零，而的总长为2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；(2)球从开始运动到离开管口时所需时间。(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；(2)球从开始运动到离开管口时所需时间可证明，引入非惯性力，质点

6、动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。例：角动量定理：L’/t=(r’mv’)/t=(r’)/tmv’+r’mv’/t=r’(F+F惯性)动能定理:∵mv’/t=F+F惯性→mv’·r/t=(F+F惯性)·r→mv’·v’=(F+F惯性)·r→(mv’2/2)=(F+F惯性)·r即:T=(F+F惯性)·r拉格朗日方程导出惯性力§5.3拉格朗日函数的不确定性非惯性系中的拉格朗日函数1、若两个拉格朗日函数L1和L2只相差一函数f(q,t)的全微商df/dt，则L1

7、和L2是等价的。证明：设L2=L1+df(q,t)/dt，只要证明由L1和L2所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。2、非惯性系中的拉格朗日函数设有三个参考系：S为惯性系，S1为相对S以vo(t)作平动，S’与S1有共同原点，但相对S1以o(t)转动。设粒子在S系速度为v，在S1系速度为v1，则v=v1+vo(t)，所以S系中单粒子的拉格朗日函数为：例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。解：