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1、数学一复习计划§1随机事件及其运算 1.1.“随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗?答：不是的.所谓“随机试验”,是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在相同条件下重复进行,而且每次试验的结果事先不能预言．出现上述错误看法的原因,往往是把“随机”两字理解为“机会均等”．1.2.A、B、C为任意三事件,是否可以推出(A+B)-C=A+(B-C)？答：不可以推出．如掷一颗骰子试验,观察出现的点数,记事件A={2},B={点数小于4},C={偶数},有，，故(A+B)-C≠A+(B-C)．产生这种错误的原因往往是想当然,不假
2、思索把数的运算律用到事件的运算中来.1.3.A、B为任意二事件,是否有A+B-A=B？答：不是.若AB≠Ф,则A+B-A=(A+B)-A.1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序,如 B+(A-B)=B+A-B=B-B+A=Æ+A=A．答：不可以．设事件A、B关系如图,显然应有 B+(A-B)=A+B．1.5.事件的运算是否可以“移项”,如由A+B=CÞA=C-B,A-B=DÞA=B+D．答：不可以．但是增加一些条件便可以移项了．有下述结果:(1) 若AB=Æ且A+B=C,则A=C-B;(2) 若,且A-B=D,则
3、A=B+D．1.6.若A=B,则A、B为同一事件,对吗?29数学一复习计划答：不对．举一反例说明：两个灯泡串联,记A={A灯亮},B={B灯亮},因为A不发生必导致B不发生，故;又B不发生必导致A不发生,因此A=B,但A、B并非同一事件.1.7.若A=B,则A、B同时发生或A、B同时不发生,对吗?答：对.1.8.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗?答：不是的.1.9.A1,A2,…,An构成完备事件组,当且仅当同时满足(1)A1+A2+…+An=Ω;(2)A1A2…An=Æ.上述说法对吗?答：不对.因为A1A2…An=Φ与
4、A1,A2,…,An互不相容不等价.1.10.“事件A、B、C两两互不相容”与“ABC=Æ”是不是一回事?并说明它们的联系.答：不是一回事.“两两互不相容”-----其中任意两个事件无公共部分,即AB=Φ,AC=Æ,BC=Æ同时成立”;“ABC=Æ”-----三事件A、B、C无公共部分.可能的联系是:“两两互不相容”Þ“ABC=Æ”,反之则未必成立.1.11.设A、B为两事件,(1) 若AB=A+B,则A与B应满足什么关系;(2) 若,则A与B应满足什么关系.答：(1) 由知, 又互不相容,
5、从而有: . 故,从而有;仿上述推导可得,从而有;于是得A=B.(2) 由有,. 29数学一复习计划上述两式表明A与B是互为对立事件,即§2概率的定义 2.1.判断:P(A)=P(B)的充要条件是A=B.答：错误.事实上,由A=B可以推出P(A)=P(B),但P(A)=P(B)不能推出A=B.例如在掷币试验中,记A={正面朝上},B={反面朝上},我们已知P(A)=P(B)=1/2,但显然A≠B.2.2.若A、B互不相容,则求A、B同时发生的概率是否可用公式: .答：不可以.对任意两个事件,第一个等号成立,
6、第二个等号也成立,但第三个等号是不成立的.因为若A、B互不相容,一般是不互斥的(除非A=Æ,B=Ω;或A=Ω,B=Æ). 故 .总的说来,当A、B互不相容时,完全没有必要去建立什么求P(AB)的公式,因为这时一定有P(AB)=P(Ф)=0.2.3.P(A)=0的充要条件是A=Æ,对吗?答：不对.因为A=Æ可以推出P(A)=0,故A=Æ是P(A)=0的充分条件,但非必要条件(即由P(A)=0不能推出A=Æ).如连续型随机变量, 在某个点取值的概率为0,但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件.2.4.P(B)=1的充要条件
7、是B=Ω,对吗?答：不对.道理同第2.3.题.2.5.若P(ABC)=0,是否可以推出:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).答：不可以.对任意事件A、B、C,恒有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当且仅当A、B、C两两互不相容时才有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).现由题设P(ABC)=0,并不能推出A、B、C两两互不相容,因此原命题不成立.2.6.若A、B互不相容,则是否有P(A-B)=P(A)-P(B).29数学一复习计划答：
8、不成立.我们可以证明,对任意两个事件A、B,恒有 P(A-B)=P(A)-P(AB)对上式,若A、B互不相容,并不能推出P(AB)=P(B),从而知原命题不成立.
