2006年考研数学三真题及解析

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1、2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在

2、点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).(D).[]（8）设函数在处连续，且，则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[]（9）若级数收敛，则级数(A)收敛.（B）收敛.(C)收敛.(D)收敛.[]-19-（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）[]（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)若，则.(D)若，则.[]（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A

3、)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.[]（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A)(B)-19-(C)(D)[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求(Ⅰ)；(Ⅱ).（16）（本题满分7分）计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本

4、题满分10分）证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵

5、,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.-19-（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计-19-2006年考研数学（三）真题解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）【分析】将其对数恒等化求解.【详解】，而数列有界，，所以.故.（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则【分

6、析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，，两边对求导得，两边再对求导得，又，故.（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为，，所以.方法二：对微分得-19-，故.（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2.【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则.【分析】利用的独立性及分布计算.【详解】由题设知，具有相同的概率密度.则.【评

7、注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：-19-则.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则【分析】利用样本方差的性质即可.【详解】因为，，所以，又因是的无偏估计量，所以.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹

8、向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设函数在处连续，且，则(A)存在(B)存在-19-(C)存在(D)存在[C]【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性.【详解】由知，.又因为在处连续，则.令，则.所以存在，故本题选（C）.（9）若级数收