圆板的切割问题

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1、圆板的切割问题背景内容你正受聘向一家制造公司的生产经理提供合理方案。生产工序的一部分是从1米×1米的钢板上切割圆板。用圆板冲床从每块钢板上压切16块直径为0.25米的小圆板，问你是否能重新安排切割方案以减少损耗呢？从相同的钢板上切割出直径为0.1米的圆板时，减少浪费的最佳方案又是什么呢？能否构成一个数学公式用于计算从给定尺寸的钢板上切半径为r的圆板的最大数量呢？1提出问题已知圆板、钢板的尺寸，求最有效的切割方案和一块钢板能切出的圆板的最大数量。建立模型列出有关因素如表6.1。对象类型符号单位钢板

2、长度输入参数L米钢板宽度输入参数b米圆板半径输入参数r米圆板数量输出变量N整数损耗输出变量W%2假设:1．假设冲床能高精度地光滑切割，可让圆与圆彼此相切。2．每个圆之间接触的形式（除掉邻近钢板边缘的圆）为：（1）与四个圆相切（“四点相切”或“方形排列”）；（2）与六个圆相切（“六点相切”或“三角形排列”）。3求数学解最简单的形式如图6.1所示呈现四点接触的方形排列，如前所述，有和N=16；损耗为4对于这种切割方式，考虑参数值的变化。5所以圆盘总数为损耗现对L，b和r的一般取值，讨论可能出现六点相

3、切的情形。6按横行的形式考虑由图6.3易见，当b是r的奇数倍（即），那么直到b增加到足以再容纳一个圆盘前，每行包括个圆板。当b增大时，各行交替为和个，直到增大到使每行都包含个圆盘为止。7看图6.3所示的垂直边可见，在每行有n个圆板的情况下，8因此在各行交替有n+1个n和个圆板的情况下，当x为偶数时，长行（每行有n+1个圆板）个数是当x为奇数时是于是x为偶数，总数为x为奇数，则9结论总结如下：各种情况下，10模型说明不能说哪种方法更佳，对参数值的变化，两种方法都可能更有效。应注意对参数的两个整数值

4、，N值可能不变但损耗会改变。对，r=0.05的情况，引用上面六点相切式的方法得所以用各行所含圆盘数不等情况（）下的公式得四点相切式显然为100个，所以要次一些。11思考：1．数量105还能增加吗？若用相等行和不等行的混合方案，可求出各行圆板个数为10，9，10，9，10，9，10，9，10，10，10，总数为106个呢！这种混合策略值得考虑。2．四点相切式不必为方形排列，采用一种错开的形式如图6.4所示，研究一下这种形式的效率。3．把模型扩展为在同一块钢板上切两种不同尺寸的圆板的情况，在什么条件

5、下小圆板能嵌在大圆板缝隙之间呢？12销售新种子1问题‘开拓’种子股份有限公司已经培育出一个新品种的作物，并且计划于1985年首次出售其种子。虽然在初期种子量不足，但公司希望最终成为货源充足的大销售商。于是，公司每年生产出的种子中有一部分要留作再生产用。在公司发展的最初阶段必须考虑：保留较大份额的种子用作再生产，仅出售小部分还是只保留小部分而影响下一步的再生产。要研究的问题是：以获得最大利润为目标，建立种子的保留量与出售量之间不同分配比例的经济关系。132教学注解在问题中提出对销售来说要以最大利润

6、为目标，也可以有其它的提法。例如，公司可设定关于种子的需求目标，要求在尽可能短的时间内达到这一目标。此问题要求学生具备相当于大学入学资格的高水准的数学知识，并不需要生物学或经济学方面的专门知识。3用公式来表示这一模型解决这类问题的一个有效的技巧是首先列出与建立公式有关的一些特征。下面列出13项是可能提出的众多特征中的一部分，但对于解决所提的问题差不多已够了。141．特征表（a）从播种到作物结籽，生产出种子的时间;(b)每株作物的种子产量;（c）作物是否是杂交品种;（d）在不好的生长季节，有效产量

7、是多少;（e）种子的成本;（f）土地的价格，例如税与租金;（g）市场对种子的需求;（h）种子出售部分与留作播种部分之比;（i）土地的使用量;（j）管理费用，例如肥料、暖气等;15（k）销售价格;（l）物价上涨的因素;（m）这类作物在市场上能畅销多久？.为减少建立模型的复杂性，我们要对上述这些特征作一些假定。2．假定下面每条假定后面的括号内的英文字母表示这条假定是对这些字母表示的特征而言的。（1）作物是一年生的植物，春天播种，秋天收割，不是杂交品种，每株作物（从一粒种子得到）可生产出r粒种子。（）

8、；（2）生长季节连续多年都不坏，因而r可看作常量（）；16（3）为进行生产仅培育和试验了少量种子，因而培育成本（即种子的最初成本）可以忽略不计（）；（4）土地的使用量不受限制，单位重量种子的生产成本与售价都是常数（这一假定似乎与物价涨落的事实有矛盾，但我们假定在我们考察的期间内利润是常量，因而成本的提高可以用提高售价来抵消）；每单位重量种子的生产成本及售价分别为￡c、s()；（5）在m年内对种子有一个恒定的需求量，它大于种子的生产量，m年后，由于改良种子的出现，需求量将减少（）；（6）在一个生长