练习41力学基础问题

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1、练习41力学基础问题知识背景从本练习开始，我们来学习用MATLAB解力学问题。力学是最为基础的学科之一，它最早来自于物理学，后来逐渐分离出来，形成单独的一门学科。力学和我们的日常生活有着密切的联系，我们身边随处可见力学现象：有常见的运动力学，也有和我们生活密切相关的材料力学。事实上，有些力学问题是相当复杂的，涉及到的计算也非常复杂。因此我们考虑采用数值计算和数据可视化的方法来完成力学问题研究。在以后5个练习中我们来看看如何利用MATLAB解决力学问题。主要内容【本练习讲述知识点】本练习将要介绍用MATLAB解

2、决力学中一些基本问题。将会用到roots求根命令，max求极大值的命令，还要接触到进行字符串计算的命令eval函数。另外，我们还将简单学习如何使用axis语句调整坐标轴比例。练习过程（1）飞行问题设目标相对于发射点的高度为，给定初速，求物体在真空中飞行的时间和距离。这是一个无阻力抛射的问题。目标和出射点不在同一高度上。如果人工计算，其实并不难，但我们考虑建立对一类问题的解法，以后遇到类似问题，可以很容易的解决。设初速为，抛射角为，目标高度为，则飞行方程为：这是一个二次方程，显然解出的t有两个值，应该根据实际情

3、况进行取舍。得出飞行时间后，我们就可以得出水平飞行距离：有了方程后，我们就能根据建立的模型编制程序。我们编好程序兵输入命令区：y0=0;x0=0yf=10;V0=50;angle=45;V0x=V0*cos(angle*(pi/180));V0y=V0*sin(angle*(pi/180));wy=-9.81;wx=0;tf=roots([wy/2,V0y,y0-yf]);tf=max(tf);t=0:0.001:tf;y=y0+V0y*t+wy*t.^2/2;x=x0+V0x*t+wx*t.^2/2;xf=

4、max(x),plot(x,y)gtext('x')gtext('y')将得到图41－1和xf的值：xf＝244.4115从图上我们可以清楚地看出抛体运动地轨迹（请注意坐标间隔取值不同）。Xf的值就是我们要求的抛体的水平运动距离，同时求得tf＝6.9131s。我们改变参数看一下图形有什么不同。取yf＝500,V0＝100，angle＝30，绘制图形，得到图41－2和新的xf值：xf=441.3265tf=5.0968+8.7154i请读者比较图41－1与图41－2，自己分析为什么轨迹不同？再看一下tf的值，发

5、现tf是复数。这说明抛体根本到不了目标高度，也就是说，抛体不会击中目标。力学问题不同于数学问题，有着自身的特点，必须根据实际情况，分析确定结果的合理性，否则会得出非常荒谬的结论。（1）轨迹问题已知质点沿x轴和y轴方向的运动规律是x（t）和y（t），求运动轨迹和对于原点的角动量。我们来分析这个问题：设角动量为，质点的动量为＝m，矢径为，有＝再平面上就是：下面我们就编制程序，并输入命令区：x=’t.*cos(t)’;y=’t.*sin(t)’;tf=20;m=1;n=100;t=linspace(0,tf,n);

6、dt=tf/(n-1);xplot=eval(x);yplot=eval(y);px=m*diff(xplot)/dt;py=m*diff(yplot)dt;lplot=xplot(1:n-1).*py-yplot(1:n-1).*px;plot(xplot,yplot);axis(‘equal’);gridplot(t(1:n-1),lplot);将得到图41－3和图41－4。从图上，我们可以清楚地看出质点运动轨迹和角动量变化规律。如果输入的质点运动方程x（t）和y（t）都是周期函数时，得到的轨迹图就是李萨

7、如图形。我们取x（t）＝sin（2t）；y（t）＝cos（3t），两个函数都时周期函数。我们来看一下质点运动轨迹和角动量变化规律。将运动方程输入命令区后（程序略），将得到图41－5和图41－6。图41－5所示的轨迹就是一个李萨如图形，请读者对比与图41－3之间的区别。【练习小结】本练习作为力学部分的第一个练习，旨在引导读者对力学问题有一个初步了解。我们学习用MATLAB作为工具解决具体力学问题。在求解过程中，我们用到了多项式求根的命令roots语句，并且在不能确定结果取舍时使用max和min命令求得合适的解。

8、请读者注意eval函数在本练习中的应用。Diff函数用来作近似的导数计算。本练习知识点较多，请仔细揣摩，认真记忆。【思考题】1．请回忆roots函数命令的用法，它似用来解什么类型多项式的？2．练习中的复数解说明什么问题？能否从图形中看出解的不合理性？3．请用axis命令调整图41－1比例，使轨迹以相同坐标间隔表示出来。4．diff函数的作用是什么？解：1。roots用来求特征多项式的根，格式：roo