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1、第8章典型习题解析1.试画出下图所示简支梁A点处的原始单元体。图8.1解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：由切应力互等定
2、律知,单元体的上下面有切应力t；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图(d)。2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解：（1）求斜截面上的正应力和切应力由公式（2）求主方向及主应力最大主应力在第一象限中，对应的角度为，主应力的大小为由可解出因有一个为零的主应力，因此画出主单元体如图8.2(b)。（3）主切应力作用面的法线方向主切应力为此两截面上的正应力为主切应力单元体如图所示。由
3、，可以验证上述结果的正确性。3.试用图形解析法，重解例2。解：（1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴。对图(a)所示单元体，在平面上画出代表的点A(-50,-60)和代表的点B(100,60)。连接A、B，与水平轴交于C点，以C点为圆心，（或）为半径，作应力圆如图所示.(2)斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过，到达G点。G点在坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值：MPaτα=34.95MPa(3)主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上H点横坐标为第一主应力，即K点的
4、横坐标为第三主应力，即由应力圆图上可以看出，由B点顺时针转过为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转，且应力圆图上由A顺时针转到K点()，则在单元体上由x轴顺时针转过为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。（4）主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N，逆时针转过，单元体上作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过，且作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在
5、圆筒表面a点用应变仪测出与x轴分别成正负45°方向两个微小线段ab和ac的的应变e45°＝629.4×10–6，e–45°＝－66.9×10–6，试求压强P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d＝200mm，厚度t＝10mm，E＝200GPa，泊松比m＝0.25。解：（1）a点为平面应力状态,在a点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力：（2）求图8.4(c)斜单元体efgh各面上的正应力：（3）利用胡克定律，列出应变e45°、e–45°表达式将给定数据代入上式得内压强和外力矩p＝10MPa，m＝35kNm5.直径d=20mm、L
6、=2m的圆截面杆,受力如图。试绘杆件中A点和B点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。（c）(a)（b）（d）解：以下图为图各单元体受力图：应力计算:图（a）的A点:图（b）的A点:图（c）的A点:B点:,图（d）中A点(压应力):B点:(b）中的A为危险点，（c）中的A、B为危险点，（d）中的A，B点均为危险点,相比之下A点的应力较大。6.已知应力状态如图所示(应力单位:MPa)。试用图解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;(2)(c)、(d)、(e)上主应力的大小与
7、方向,在单元体上画出主平面的位置,求最大切应力。(a)300斜截面单元本;(b)450斜截面单元体;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体(e)拉压切单元体。解：(a)按比例画出应力圆如下图,可得α=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为解析法校核：(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为ysCEXOτY解析法校核：(c）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：主平面的方位可由应力圆上量得,因最大主应力作用面与x平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):(d）应力圆与σ轴
8、的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):(e）应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为主平面的方位，可由应力圆上量得：（对应于主应力σ
