【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(十八)导数及定积分.

《【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(十八)导数及定积分.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、www.ks5u.com课时冲关练(十八)导数的简单应用及定积分(建议用时:60分钟)1.(2014·杭州模拟)已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,求a的取值范围.【解析】若a=0,则f'(x)=0,函数f(x)不存在极值;若a=-1,则f'(x)=-(x+1)2≤0,函数f(x)不存在极值;若a>0,当x∈(-1,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值;若-1

2、)时,f'(x)>0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在x=a处取得极大值;若a<-1,当x∈(-∞,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,-1)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值.所以a∈(-1,0).2.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,求常数c的值.【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,所以f'(x)=3x2-4cx+c2,所以f'(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=

3、6,当c=2时,不能取极大值,所以c=6.【误区警示】本题易出现由f'(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.3.(2014·湖北高考改编)若函数f(x),g(x)满足,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2,确定其中的正交函数.【解析】对于①,所以满足条件的正交函数有2组.是①和③.4.已知函数f(x)的定义域为A,若其值域也为

4、A,则称区间A为f(x)的保值区间.若f(x)=x+m-lnx的保值区间是[e,+∞),求m的值.【解题提示】利用f(x)=x+m-lnx在[e,+∞)上的值域为[e,+∞)构造方程求解.【解析】由函数f(x)=x+m-lnx知x>0,所以由f'(x)=1->0,得x>1,即函数f(x)=x+m-lnx的递增区间为(1,+∞),因为f(x)=x+m-lnx的保值区间是[e,+∞),且函数在[e,+∞)上单调递增,所以f(e)=e,即f(e)=e+m-lne=e,即m=lne=1.5.已知函数f(x)

5、=x3-3ax(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)的极小值.(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值是f(1)=-2.(2)方法一:f'(x)=3x2-3a,直线x+y+m=

6、0,即y=-x-m.依题意,切线斜率k=f'(x)=3x2-3a≠-1,即3x2-3a+1=0无解.所以Δ=0-4×3(-3a+1)<0,所以a<.方法二:f'(x)=3x2-3a≥-3a,要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1<-3a时成立,所以a<.【加固训练】(2014·唐山模拟)已知函数f(x)=(1-x)ex-1.(1)求函数f(x)的最大值.(2)设g(x)=,证明g(x)有最大值g(t),且-2

7、∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.　(2)g(x)=,g'(x)=.设h(x)=-(x2-x+1)ex+1,则h'(x)=-x(x+1)ex.当x∈(-∞,-1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(-1,0)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.又h(-2)=1->0,h(-1)=1-<0,h(0)=0,所以h(x)在(-2,

8、-1)有一零点t.当x∈(-∞,t)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(t,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.由(1)知,当x∈(-∞,0)时,g(x)>0;当x∈(0,+∞)时,g(x)<0.因此g(x)有最大值g(t),且-20,求函数f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x