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时间:2018-09-21
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1、加试模拟训练题(17)1、设是梯形,∥,在其两腰上分别存在点,使得,证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。2、已知,且,求证:第4页共4页3、在由18个队参加的足球循环赛中,彼此之间已赛过8轮,即每个队都与8个不同的队进行过比赛.证明:一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛.4、证明不存在正整数,使2n2+1,3n2+1,6n2+1都是完全平方数。第4页共4页加试模拟训练题(17)1、设是梯形,∥,在其两腰上分别存在点,使得,证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。(20届全俄)证明设与的外接圆交于点,则有,所以点在上。又因为,所以。设与的外接圆半径分别为,,则,
2、因此与的交点是的外接圆与的外接圆的位似中心,设与的外接圆的圆心分别为,则在上,且是的中垂线,于是有。2、已知,且,求证:证明:构造函数,易知在上为增函数,所以对任意,有,则再分别令,代入上式,相加得3、在由18个队参加的足球循环赛中,彼此之间已赛过8轮,即每个队都与8个不同的队进行过比赛.证明:一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛.【证】从某队A开始考虑,由已知在前八轮比赛中它与8个队比赛,与9个队未赛过.而在这未赛的9个队中一定有两个队彼此没有赛间的比赛最多只能安排4场(一个队轮空),故在前8轮中,最多只赛32第4页共4页场.所以一定有两队彼此没有赛过,设为
3、B、C.那么,A、B、C三队在前8轮中彼此没有赛过一场.4、证明不存在正整数,使2n2+1,3n2+1,6n2+1都是完全平方数。证明:假设存在这样的正整数,使2n2+1,3n2+1,6n2+1都是完全平方数,那么(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)也必定是完全平方数。而(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)=36n6+36n4+11n2+1; 36n6+36n4+9n2;36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1;所以(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)<与(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)为完全平方数矛盾。第4页共4页
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