加试模拟训练题（24）

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1、加试模拟训练题（24）1、已知单位面积的凸四边形及其内一点，证明这5个点构成的三角形中必有一个的面积不超过，并证明这个上界是最小的。2、已知正实数的和等于1,证明:.第5页共5页3．给定空间中的9个点，其中任何4点都不共面，在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为蓝色或红色，也可不染色.试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。4．设是正整数，，证明：（）（）。加试模拟训练题（24）第5页共5页1、已知单位面积的凸四边形及其内一

2、点，证明这5个点构成的三角形中必有一个的面积不超过，并证明这个上界是最小的。证明假设两条对角线交于点，不妨假设点在中。假设的面积分别为，分别为，，因为，所以有。若均大于，则，矛盾。当等腰梯形满足平行于，，高为，在对称轴上，且到的距离为1。此时，，所以是最小的。2、已知正实数的和等于1,证明:.(1999-2000年波兰数学竞赛题)证明:根据不等式的特点,以,代入原不等式并整理可得齐次不等式:第5页共5页.即.因为,又=++.纵上可知原不等式成立.3．（Ramsey问题）给定空间中的9个点，其中任何4点都不共面，在每一

3、对点之间都连有一条线段，这些线段可染为蓝色或红色，也可不染色.试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形。解：在考虑这个问题前，先熟悉几个简单的问题。（1）任意6个人中，总有3个人，他们全部认识或全部不认识。运用图论的方法，考虑在二色完全图中有同色三角形，这个是显然的。（2）房间里有10个人，任意三人中总有两个人相互认识，证明：其中必有4人相互认识。运用图论的方法，中，认识的用黄色相连，不认识的用红色相连。中无红色三角形，待证明：中有

4、黄色的（3）二色完全图存在一种染色方法，使得其中无同色三角形我们采用比较原始的方法来证明：其中，右图的证明利用二色完全图中有同色三角形且该同色三角形必定为黄色三角形。第5页共5页让我们再回到原始的问题。9个点，可以有36条染色线段，如右图所示，我们可以构造一个如图所示的9个点的二色图，同一处的两个顶点的不连线，共有线段，所以。如何证明这33条线段必定有同色的三角形呢？可以得到的结论是至多三条线段没有被染色？任意取一条不被染色线段，固定一个顶点，去掉该顶点及其相连接的线段，再取另一条不被染色的线段，同样操作。再取最后一

5、条不被染色的线段，同样操作。至多去掉3个顶点，余下6个顶点，则结论必然成立。4．设是正整数，，证明：（）（）。证明：首先，当时，易知结论成立。事实上，时，结论平凡；当时，结果可由推出来（注意）。最后，的情形可化为上述特殊情形：由带余除法而，由于，从而由若是正整数，则知；而，故由上面证明了的结论知（注意时结论平凡），从而当时，也有（）（）。这就证明了本题的结论。第5页共5页