非线性物理——混沌

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1、非线性物理——混沌引言非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等[1]。要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图1所示的蔡氏电路（Chua'scircuit）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（LeonO.Chua）教

2、授于1983年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。如Chen氏电路[6]、Colpitts振荡电路[7]、基于SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。实验原理在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R（电路方程中以电导G=1/R做参数，以下方程求解过程都用G来表示，而涉及实验的

3、内容采用R表示）、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr。它的运行状态可以用以下方程组来描述：(1)-10-其中U1为C1（或负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流，Error!Nobookmarknamegiven.g(U)为非线性负阻的I-V特性函数，其表达式为：(2)式中各参数和变量的具体意义间图3。从g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称，可以一并求解。图1：蔡氏电路示意图U1、U2、IL构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为。混沌实验仪中一般演

4、示X点的相轨迹在U1-U2平面的二维投影，可用双踪示波器的X-Y模式来观察，即常说的李萨如图形。在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程：(3)其中X(t)、b为三维矢量，A为三阶矩阵。方程(3)在时的解即为相空间的不动点XQ，。原方程组的解即可写为线性齐次方程的通解与不动点特解XQ的和。方程(3)的本征值方程为

5、λI-A

6、=0，若A存在三个本征值λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为：(4)其中ξi为λi对应的本征向量，ci由初始状态X0决定。在有些情况下，A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ±iω，方程的解可以写成：-10-(5)式中ξγ是实本征值对应的本征

7、向量，ηr±iηi是共轭的复本征值对应的本征向量。fc、cr、cc由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为：(6)我们把实本征向量ξγ方向标记为Er，把ηr和ηi张成的平面记为Ec。齐次方程解的独立分量xr(t)在Er方向，xc(t)在平面Ec内。方程的解随着时间演化具有如下性质：如果γ<0，xr(t)指数衰减到0；如果γ>0，xr(t)沿着Er方向指数增长。由此可见，对于任何一条相轨迹X(t)，Er方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越Ec平面（图Error!Bookmarknotdefined.、Error!Bookmarknotdefined.）。如果σ>0

8、且ω≠0，则xc(t)在Ec平面内螺旋离开不动点XQ；若σ<0，xc(t)在Ec平面内螺旋收缩到不动点XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。非线性负阻的结构[9]如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）构成，输入电源电压±15V。理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性，被±E拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb，且满足Ga

9、1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09±0.06)×10-4Ω-1。图2：非线性负阻的内部结构-10-图3：理想非线性负阻I-V特性（示意图）实验内容一、各种混沌现象的观测用图1所示的方法，调节可调电阻R，观察单周期、双周期、阵发混沌、三周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的U1,U2的信号特点。二、测量非线性负阻的I-Ｖ特性1、用如图4所示的方法，用信号发生器驱动，分别在30Hz，300Hz和3.3kHz等频率测量非线性负阻的I-