多重生命函数的风险序研究

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1、多重生命函数的风险序研究李孝丰，王传玉（安徽工程科技学院应用数理系，安徽芜湖24100）摘要：随机序作为一种重要方法，在统计学，可靠性，排队论，精算数学等研究领域受到了越来越多的重视。本文研究了两列寿命随机变量的连生状态和最后生存状态，在独立但不同分布的假设下，给出了它们的剩余寿命和失效时间的风险排序。关键词：剩余寿命；失效时间；随机序；连生状态；最后生存者状态中图分类号：O213.2文献表示码：A0引言最早的有关随机序概念的研究工作始于Hardy，Littlewood与Po’lya于1934年

2、发表的关于不等式的名著[1].他们在两个非负向量之间引入的占优关系，实际上即是一阶停止损失序，此后，随机序在排队论、可靠性、统计学等多种领域中得到广泛的应用[2-4].自然，基于期望效用原理，随机序也在经济金融决策领域[5，6]及在保险精算领域[7，8]的研究中备受青睐.多生命函数在精算学中占有非常重要的地位，连生状态和最后生存状态是多重生命函数的两种特殊情况，多重生命函数的分布特征是相关产品定价和评估的基础，一般没有现成的多重生命的生命表的使用，所以研究多重生命函数的风险排序显得尤为重要.本文

3、在两列寿命随机变量独立但不同分布的假设下，主要研究了它们的连生状态和最后生存状态的剩余寿命和失效时间在随机序意义下的关系.1预备知识1.1生存函数对于新生个体，其死亡年龄是一个连续性随机变量.用记的分布函数，则并记为新生个体的生存函数，其中.1.2岁人的剩余寿命剩余寿命是指新生婴儿在活到某年龄时剩余的寿命，新生婴儿在生存到岁的条件下并于年龄岁前死亡的概率为寿命随机变量在活动时的剩余寿命记为.1.3生效时间在本文中，我们把寿命随机变量消亡在之前的失效时间记为.有：.1.3死亡效力新生个体在活到岁的

4、条件下并于年龄与之间的死亡的条件概率等于现龄的人在今后年内死亡的概率.而称为的死亡效力或瞬时死亡率，记作.即.显然.1.4多重生命模型岁的单个生命可以一种活着的状态，其剩余寿命则是该状态存在所持续的时间，也就是直到该状态消亡所经历时间.涉及多个生命时，可按照不同方式定义各种复杂的状态.当所有生命个体活着时存在，而当其中有一个死去时消亡的状态称为连生状态.则可以把的连生状态，记为其中是成员数，代表成员的寿命随机变量.当一组生命个体中至少有一个活着时为存在，而当最后一个成员死去时消亡的状态为最后生存

5、者状态，所以可把最后生存者状态记为，其中是成员数，代表成员的寿命随机变量.2几种重要的随机序及其相关性质定义2.1与为两个寿命随机变量，若对任意的实数有或，则称在随机控制序的意义下小于，记作.定义2.2设和是具有绝对连续分布的非负随机变量，它们的死亡力函数分别为，称在死亡力序的意义下小于，如果对任意的记作.定义2.3设和是任意两随机变量，其生存函数分别为和，称在死亡力序的意义下小于，如果为关于的递增函数.定理2.1[4]设和是任意两随机变量，如果，则.定理2.2[4]下面两条件等价：（1）（2）

6、定义2.4.1如果非负随机变量，，其生存函数为，则的平均剩余寿命为,其中.定义2.4.2假定和是两随机寿命，其平均剩余寿命函数分别为和，如果对所有，则称在平均剩余序意义下小于。记作.定理2.3假定和是两随机变量，其平均剩余寿命函数分别为和，若，则.证明：由定义2.4.1知，又因为所以故即。因为，所以.定义2.5设和是两个连续的两随机变量，和分别为和的分布函数.如果函数是关于的单调函数，则称在逆死亡力序意义下小于，记作.定理2.4[4]设和是两个两随机变量，如果，则.3几个主要结果定理3.1假定是

7、两组独立的随机变量，且满足则.证明：首先证明当，且假定的死亡函数分别为,则的分布函数为，的死亡力函数为：同理的死亡力函数为．由，所以，即.同理可证：,再由定理2.3可证命题.推论：则.证明：由定理2.2可知.定理3.2设为两列独立的寿命随机变量，相应的分布函数分别为，且，它们个体的最后生存者状态有如下关系：.证明：故命题成立.定理3.3设为两列独立的寿命随机变量，相应的分布函数分别为，且，它们个体的剩余寿命的连生状态有如下关系：.证明：同理.，，进而.故命题成立.定理3.4设为两列独立的寿命随机

8、变量，相应的分布函数分别为，且，它们个体的剩余寿命的最后生存状态有如下关系：.证明：，同理，．故命题成立.定理3.5　设为两列独立的寿命随机变量，相应的分布函数分别为，且，其最后生存状态的失效时间有如下关系：证明：同理　故命题成立.定理3.6　设为两列独立但不同分布的寿命随机变量，相应的分布函数分别为，且，其连生状态的失效时间有如下关系：.证明：同理　故命题成立.参考文献[1]Hardly,G.H.,Littlewood,J.E.,Po’lya,G.,Inequalities[M].London