1989考研数四真题及解析

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1、Borntowin1989年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)曲线在点处的切线方程是__.(2)某商品的需求量与价格的函数关系为,其中与为常数,且,则需求量对价格的弹性是__.(3)行列式__.(4)设随即变量相互独立,其中在上服从均匀分布,服从正态分布服从参数为的泊松分布,记,则__.(5)设随机变量X的分布函数为则.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)设则当时()(A)与是等价无穷小量(B)与是同阶但非等价无穷小量(C)是比较高阶的无穷小量(D)是比较低阶的无穷小量

2、(2)在下列等式中,正确的结果是()(A)(B)Borntowin(C)(D)(3)设为阶方阵且,则()(A)中必有两行(列)的元素对应成比例(B)中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D)中至少有一行(列)的元素全为0(4)设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,则有非零解的充分必要条件是()(A)(B)(C)(D)(5)以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞

3、销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1)求极限(2)已知其中,求.(3)求不定积分(4)求二重积分其中是和所围成的区域在第一象限部分.四、(本题满分6分)已知某企业的总收入函数为总成本函数为其中表示产品的产量.求利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.五、(本题满分12分)已知函数试求其单调区间、极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线,并画出函数的图形.六、(本题满分5分)Borntowin已知其中求矩阵.七、(本题满分6分)讨论向量组的线性相关性.

4、八、(本题满分5分)设(1)试求矩阵的特征值；(2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.九、(本题满分8分)已知随机变量和的联合概率分布为试求(1)概率分布；(3分)(2)的概率分布；(3分)(3)的数学期望.(2分)十、(本题满分8分)某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布,分布密度为试求：在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率.Borntowin1989年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答

5、案】【解析】对函数两边对求导,得令得,所以该曲线在点处的切线的斜率为,所以,切线方程是即为所求.(2)【答案】【解析】由弹性公式得弹性为(3)【答案】【解析】把二、三、四列均加到第一列,得原式再第一列提出一个公因式,原式再第二列加到第三列,第一列加到第二、四列,有原式.(4)【答案】【解析】依题意又因随机变量相互独立,对相互独立的随机变量的线性组合,有Borntowin,所以有.【相关知识点】若(均匀分布),则方差；若(正态分布),则方差；若(泊松分布),则方差.(5)【答案】【解析】因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,

6、因此所以二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有,所以与是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(A)【解析】由不定积分的概念和性质可知,,为常数.故应选(A).(3)【答案】(C)Borntowin【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列

7、元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(B)【解析】对矩阵按列分块,有,则的向量形式为那么,有非零解线性相关故应选(B).注意：元方程组只有强调有个未知数而方程的个数不一定是,因此,系数矩阵不一定是阶方阵,所以不能用：有非零解,这一点要特别注意.(5)【答案】D【解析】设事件“甲种产品畅销”,事件“乙种产品滞销”,则事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D)

8、.三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)(1)【解析】此型未定式,应化为指数函数后再求极限.Borntowin,令,则时,,于是,故.而由洛必达法则,故.(2)【解析】应先求函数对的偏导数,即故(3)【解析】由不定积分的性质,得,由分部积分法得