数学分析教学中学生数学猜想能力培养探讨

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1、数学分析教学中学生数学猜想能力的培养探讨刘浏摘要：本文主要探讨在数学分析的教学中如何通过归纳、类比和结合几何直观来培养学生的数学猜想能力，并提出了自己在教学中的一些作法。关键词：数学猜想；归纳；类比；几何直观；中图分类号：O171数学猜想是指依据某些已知的事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断，它既有一定的科学性，又有某种假定性，其真伪性一般来说难以一时解决。数学猜想是数学研究中常用的一种科学方法，又是数学发展的一种重要形式，它常常是数学理论的萌芽和胚胎，通过数学猜想可以提出新见解、预见新性质、揭示新规律，有些数学猜想在相当长的历史时期内，始

2、终都影响着数学发展的方向[1]。上一世纪初，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家会议上发表演说，提出了新世纪数学面临的23个问题,这些问题大多数是希尔伯特对20世纪数学问题的一些猜想，对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学发展的进程。另外我们从著名的费尔玛猜想从提出到猜想的圆满解决的过程，也可看到数学猜想的重要科学价值[2]。数学猜想属于数学方法论范畴，它是一种大胆的、科学的创造性的思维方法，这种思维方式是一种直觉思维形式，直觉思维与逻辑思维一样，也是人类基本的思维形式，它是人们以一定的知识、经验、技能为基础，通过一定的观察、联想、类比、归纳、猜想等对所研究对象中

3、的关系和结构的直接领悟。直觉思维的培养对全面提高学生思维能力，特别是创造性思维能力意义重大。但是目前我国大多数数学分析教材受前苏联教材的影响，对定义、定理、证明、举例这一套逻辑体系十分强调，甚至过分强调，很多教师在教学中也严格按照这一套严密的逻辑体系一步一步地向学生讲授。如果在教学中讲授某一个定理时，哪一步逻辑上不大完备，就好像是不得了的事了。当然，严密的逻辑体系是重要的，我们也无意贬低或否定严密的逻辑推理的重要性，但是我们不应当用这种所谓的“严密”6来束缚自己的手脚，在教学中忽视直觉思维的突发性理解与顿悟作用，忽视数学概念、定理形成过程中生动直观的一面以及包

4、含着大量源于直观思维的结果。把数学思维能力的培养基本上局于逻辑推理上，无形中造成了对数学思维的偏见，这不仅不利于数学直觉思维能力的培养，而且也削弱了数学教学的作用。数学教学不仅要培养逻辑思维能力，同时要培养直觉思维能力。本文就数学分析的教学中如何培养学生的猜想能力谈谈自己的认识和体会。一、在教学中重视培养学生的归纳能力，使学生在归纳中学会猜想归纳的认识依据是同类事物的各种特殊情形中蕴含的同一性和相似性，归纳常能启发思路，发现规律。在归纳和概括的基础上合理猜想，是直觉思维的一种常见形态，归纳特别是不完全归纳是提出数学猜想的一种重要的方法，在教学中要特别重视培养学

5、生的归纳能力，培养学生在归纳中学会猜想。作为教师要做到这一点，首先要精选问题，剖析猜想的建立并作示范，其次要鼓励学生大胆尝试，使他们在训练中提高。下面举例说明如何在归纳中学会猜想。例1：证明数列收敛。通过观察，不难发现数列的通项有如下的递推关系：，并且，于是大胆猜想数列是单调递增的，又假设数列是单调递增的，显然数列的每项都是大于零的，于是对每一个n，应该有，从而，可得对任意的n有，大胆猜想：“对任意的n有”，而要证明这一点不难用数学归纳法轻松证得，而由也就可得到数列是单调递增的，问题获得证明。在数学分析中，许多要用到单调有界原理的数列极限问题，上例提供了一个可

6、参考的思考模式。例2：交错级数收敛的莱布尼兹判别法的教学设计对于交错级数的敛散性的判别，莱布尼兹给出了一个收敛的充分条件:若交错级数满足数列单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。为了寻求本定理等证明思路，我们采取了如下的教学方法：先给出了一个具体的交错级数，引导学生观察级数的部分和数列：6可以看到该部分和数列的奇数子列是单调下降的，偶数子列是单调上升的，而且,于是有该部分和数列的奇数子列和偶数子列是收敛的且具有相同的极限，也就是级数收敛。受此启发，我们猜想对一般的交错级数也有此结论，事实上对于级数的部分和子数列和，有：，及，可得及，可见和分别是单调递减和单调递增

7、的有界数列，从而它们收敛，再根据，可得它们极限相等，也即部分和数列收敛，问题得证。二、在教学中要重视从新旧知识的类比中来培养学生的猜想能力类比是也是提出猜想的一种有效的方法。从类比的具体形式来来看有这样几种方式:问题形式类比(这可以提出新问题)、问题结构类比(这可以发现新解法)、平面与空间类比（这可以拓展问题的内涵）等。通过类比，可以调动大脑中贮存的知识信息，进行知识组合，启迪思维，出现“顿悟”，从而找到发现问题和解决问题的关键。在数学分析中，很多教学内容都具有“惊人的相似”，在教学时，我们就不宜平铺直述地把它们抬给学生，在作一些必要的知识准备后，可以鼓励学生

8、通过前后知识的类比大胆提出猜想。当然学