第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析

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1、第7章一阶电路和二阶电路的时域分析重点：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解§7.1　动态电路的方程及其初始条件1.动态电路　　含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其VCR是对时间变量t的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。　　下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。　　1）电阻电路图7.1（a）（b）　　7.1（a）所示的电阻电路在t=0

2、时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流i随时间的变化情况如图7.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。　　2）电容电路 图7.2（a）（b） 　　图7.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i和电容电压满足：i=0，uC=0。　　t=0时合上开关，电容充电，接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流i和电容电压满足：i=0，uC=US。图7.2（c）　　电流i和电容电压uC随时间的变化情况如图7.2（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态

3、。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。　3）电感电路 图7.3（a）（b） 　　图7.3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i和电感电压满足：i=0，uL=0。　　t=0时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流i和电感电压满足：i=0，uL=US/R。图7.3（c） 电流i和电感电压uL随时间的变化情况如图7.3（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。从以上分析需要明确的是：　1）换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；　2）含有动态元

4、件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成，即：　　　　若则　3）代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。2.动态电路的方程　　分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。图7.4图7.5　　设RC电路如图7.4所示，根据KVL列出回路方程为：　　由于电容的VCR为：　　从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：　　若以电流为变量，则有：　　

5、对以上方程求导得：　　设RL电路如图7.5所示的，根据KVL列出回路方程为：　　由于电感的VCR为：　　以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：　　若以电感电压为变量，则有：　　对以上方程求导得：　　对图7.6所示的RLC电路，根据KVL和电容、电感的VCR可得方程为：　　　　　　　　　图7.6　　整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：考察上述方程可得以下结论：　（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；　（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路；　（3）描述动态电路的微分

6、方程的一般形式为：　　描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程　　描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程　　高阶电路的方程是高阶微分方程：　　　　方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。3.电路初始条件的确定　　求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。　　若把电路发生换路的时刻记为t=0时刻，换路前一瞬间记为0－，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0＋时u，i及其各阶导数的值。　(1)电容电压和电感电流的初始条件　　　　　　由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第

7、一章），所以上两式中的积分项为零，从而有：　　　　对应于　　　以上式子称为换路定律，它表明：　　1）换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。　　2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。　　需要明确的是:　　1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。　　2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。　（2）电路初始值的确定　　根据换路定律可以由电