数学思想方法系列3

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1、直击高考思想方法系列一应用平均值不等式在“活”与“巧”上下功夫平均值不等式，是“不等式”这一章最重要的公式之一，它是不等式证明时的有力工具。活用平均值不等式来解题应该成为我们平时学习中的基本要求。那么，如何在“活用”和“巧用”上下功夫呢？当然要选择一些典型而生动的例子对它们认真分析和思考了。1.应用平均值不等式只是整个解题过程中的重要步，而用好这一步，确实简化了计算题组一1.已知,比较a、b、c的大小。2.设a>0，a≠1,问方程ax+a－x=2a在[－1,1]内是否有解，为什么。分析与解答1.从结构上我们当然立即想到了平均值不等式。∵a>0

2、，故;，等号在a=b=时取得。得到启发，是比较三者大小的分界线。（1）当a>时，,同理c－b<0，故a>b>c。（2）当a=时，a=b=c。（3）当01的情况。我们把根求出来。解法1：ax+a－x=2aa2x－2a·ax+1=0.ax=a±,∴,∴当a>1时，此方程在[－1,1]上无解。解法2：令f(t

3、)=t2－2a·t+1.其中∵f(t)的图象的对称轴为t=a，又∴f(t)的图像在[]内与直线y=0无交点。∴方程[－1，1]内无解。用平均值不等式来估计ax+a－x的值，确定01时，证明方程在[－1,1]内无解的上面的两种证法都值得借鉴。练习题：已知，则a的取值范围是_________。（答：.你是如何应用平均值不等式确定a不可能大于1的呢？2.找定值，巧用平均值不等式，这个定值有时是明显的，而有时则是比较隐蔽的。题组二3.设0

4、x+y+z)=1,求证(x+y)(y+z)≥2.分析与解答3.要证的不等式的左端的分母x+(1－x)=1为定值，这就启发我们找到了这样的简捷解法。证明：∴∴原不等式成立。找到了分母为定值，证明就简单了吧？而题4的定值却不是一目了然的。4.xyz(x+y+z)=xz(xy+y2+yz)=1∴xy+y2+yz=①又(x+y)(y+z)=xy+y2+yz+xz.②①②两式比较，发现①式的两边分别加上xz，则定值出现了。∴.这个证法有点让人激动！练习题：x,y∈(0,1),x1D.m<13（选D，由

5、为定值，应用平均值不等式。）3应用平均值不等式时应注意验证等号是否能够取得到题组三5.已知a,b,c∈R+,求证：6.a、b、c为三角形之三边，S为其面积，求证：，并说明等号在什么情况下取得。分析与解答5.这个问题有点难！观察思考三个无理根式的分子他分母，分母的他为分子的和的2倍，于是想到证明：,同理有三式相加等号成立的条件是,这三式同时成立，即b=a+c,c=a+b,a=b+c，于是a+b+c=0，与题设矛盾。∴证完了！回头看看，感觉到平均值不等式的确用活了！6.由于要证的不等式的左式是a2+b2+c2，因此联想余弦定理。证明：∵a2+b2

6、+c2=2(a2+b2)－2abcosC,∴等号当且仅当即三角形为等边三角形时取得。平均值不等式应用关键时刻关键的那一步！练习题：a、b、c为不全相等的正数，求证：（应用平均值不等式，验证取等号时与a、b、c为不全相等的正数矛盾。）4抓住题设中的特殊信息，创造条件应用平均值不等式题组四7.若且a+b=1.求证：.8.设a、b为正数，求证：不等式成立的充要条件是对任意的x>1，不等式成立。分析与解答7.仔细审视要证的不等式，想让它与平均值不等式挂钩，似乎还有困难，可从a+b=1上联想。证明：∵∴当2a+1=2b+1且a+b=1时，即时取等号。这

7、个问题其他解法这里不再作详细介绍。三角代换确实有其特色，令,,，你不妨尝试一下。8.证明：设,则不等式对恒成立的充要条件是当且仅当时上式等号成立。∴f(x)的最小值为∴不等式对于恒成立的充要条件是.从条件x>1去联想和创造应用平均值不等式的条件，这个证法是简捷的。练习题：求数的值域。你能从函数的表达式的结构特点中去寻找应用平均值不等式可能吗？由题意得，x(8－x)≥0，∴0≤x≤8∴f(x)≥03∴f(x)的值域是[0，4].3