07级数学分析(1)试题(a卷)参考答案

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1、数学分析(1)试题参考答案（适用理学院2007级，120分钟，2008年01月）一、求解下列各题（每题5分共40分）1.【解】原式=……………………………3…………………22．【解】当时，，故……………………….2………………..33．设，求【解】时，…………3时，。…………264.设曲线，求.【解】,………………………3,………………………………25．【解】原式=………………………3…………………………2（数学系学生做：叙述的定义）【解】对，有6．【解】原式=……………2…………3（数学系学生改做：叙述存在的归结原则）【解】且，

2、有存在且相等。7．证明函数在上一致连续。6【解】，因为。…………2因此，，取，则，只要，就有成立，即函数在上一致连续。…………38．求在上的最大值与最小值。【解】令得驻点，计算……………………………………2，，，最大值，最小值……………………………3二（12分）、设在数集上有界，（1）叙述的定义；（2）证明【证】（1）叙述见教材，略！………………………………………6分（2）对，,所以…………………3分又，利用上式得即……………………………3分6三（12分）叙述数列收敛的柯西准则，据此再叙述数列发散的充要条件，并证明数列发散，其中。

3、【解】叙述见教材，略！证明如下，…………………………………8分取，取，故该数列发散。………………4分四（12分）设在连续，在可导，证明：(1)如果存在，则也存在，且;(2)如果在区间上可导，则在上不存在第一类间断点。【证】（其中）。当时，有，由假设条件存在，即存在。说明存在且。同理可证，如果存在，则也存在，且。…………………6分下证导函数不存在第一类间断点。对，如果和都存在，由上述结论和存在，知必有，这说明在点连续。…………………6分五（12分）设函数在连续，在可导，，且，使得。证明：(1)，使;(2)，使.【证】作辅助函数，……

4、……………3分由及，由介值定理知：，使，…………………3分6又，故根据罗尔定理，…………………3分，使，得证。…………………3分六（12分）应用函数的凸性证明：对任意的非负实数，有。【证】设，…………………2分则，…………………2分。…………………2分即在上是凹函数，则由凹函数的性质，对任意有…………………4分即。…………………2分（数学系学生改做：已知函数满足：(1)(为有限数)，且;(2)，证明：。）【证】因，故，，当时，有…………………5分又因，对上面，，当时，有，又，故…………………5分综上，，，当时，有，这就证明了………

5、………2分66