2016春北师大版数学九下第一章《直角三角形的边角关系》word导学案

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1、1.1锐角三角函数学习目标、重点、难点【学习目标】1.掌握正切的意义,坡度的概念,用正切表示生活中物体的倾斜程度.2.培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力.3.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.【重点难点】1.从现实情景中探索直角三角形的边、角关系.2.理解正切的意义和与生活现象--倾斜度、坡度的内在本质的统一性,密切数学与生活的联系.3.如何把正切的意义从现实生活中抽取并灵活应用.知识概览图新课导引【生活链接】意大利比萨斜塔落成时已经倾斜,你如何描述比萨斜塔的倾斜程度呢?【点拨】我们可以用“塔身中心线偏离竖直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度.用该角的正切值来描

2、述塔的倾斜程度,即该角的正切值越大,塔倾斜越严重.其实,角的正弦值、余弦值均可以描述塔的倾斜程度,即该角的正弦值越大,塔倾斜越严重;该角的余弦值越小,塔倾斜越严重.教材精华知识点1正切的概念如图1—l所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=.拓展(1)tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.我们后面将要学习的sinA,cosA也是这样.(2)当用三个大写字母表示一个角,并表示它的正切时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠BAC。(3)正切是在直角三角形中定义的,其本质是

3、两条线段长度的比值,它是数值,没有单位,其大小只与角的大小有关,而与所在的直角三角形的大小无关.知识点2正切的应用正切值与梯子倾斜程度之间的关系.tanA的值越大,梯子越陡.拓展当梯子的倾斜角确定时,其对边与邻边的比值便随之确定,因此,可以用倾斜角的对边与邻边之比,即倾斜角的正切值来刻画梯子的倾斜程度.用正切来描述山坡的坡度.坡角越大,坡度越大,坡面越陡.拓展工程上,斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示,而坡度是坡角的正切.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比).通常坡度用字母i表示.知识点3正弦和余弦的概念如图1—2所示,在Rt△ACB中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、

4、邻边与斜边的比也随之确定.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.拓展(1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的,其本质也是两条线段长度的比值,它只是一个数值,没有单位,其大小只与角的大小有关,与三角形的大小无关.(2)在直角三角形中,斜边大于直角边,且各边长均为正数,所以有如下结论:0

5、数的概念锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.拓展在锐角A的三角函数的概念中,∠A是自变量,其取值范围是0°<∠A<90°,三个比值是因变量.当∠A确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.知识点5互余两角的正弦与余弦的关系如图1—3所示,∠A的对边恰是∠B的邻边,而∠B的对边也恰是∠A的邻边.∵sinA=,cosB=,∴sinA=cosB.同理可得cosA=sinB,又∠A十∠B=90°,即∠B=90°-∠A,∴sinA=cos(90°-A)=cosB,cosA=sin(90°-A)=sinB.也就是说,任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦

6、值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.拓展此结论适用于所有两个角互为余角的情况,它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角.规律方法小结在本节知识的学习中,一定要仔细体会数形结合的思想,掌握数形结合的方法.本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导,都体现了数形结合的思想方法.对于锐角三角函数的有关概念,应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系,加深对概念的理解.本节内容是三角函数的基础知识,是全章的重点,也是难点,现将本节知识归纳如下(参照图1—3):sinA=sinB=∠A十∠B=90°课堂检测基本概念题1、在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则BC:AC等于()A.3

7、:4B.4:3C.3:5D.4:52、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10m,则他所在的位置比原来的位置升高了m.基础知识应用题3、在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=12,BC=5.(1)求AB的长;(2)求sinA,cosA的值;(3)求sin2A+cos2A的值;(4)比较sinA与cosB的大小;(5)比较tanA与的大小.综合应用题4、已知α为锐角,且tanα是方程x2-2x-3=0的一个根,求tan2a+2tanα+1的值.5、如

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