河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题（理）含答案

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1、洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集个数为（）A．4B．8C．16D．322.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3.“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个

2、数的估计值是（）注：若，则，.A．B．C.D．5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）A．升B．升C.升D．升6.将函数的图像向平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（）A．B．在区间上是增函数C.是图像的一条对称轴D．是图像的一个对称中心7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C.D．8.在中，点满足，过点的

3、直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A．3B．4C.D．9.若，则的值为（）A．B．1C.0D．10.在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C.D．11.记数列的前项和为.已知，，则（）A．B．C.D．12.已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出的值为．14.设，满足约束条件，则的最大值为．15.已知一几何体的

4、三视图如图所示，则该几何体的体积为．16.已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则此椭圆的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角，，的对边分别为，，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.18.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的摄影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.19.某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答

5、，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.20.已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.21.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当时

6、，证明：不等式恒成立（其中，）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点，分别为曲线、曲线上的动点，点坐标为，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若存在，，使得和互为相反数，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB6-10:DCADB11

7、、12：AC二、填空题13.414.115.16.三、解答题17.（1）由，由正弦定理得，即，所以，∴.（2）由正弦定理，可得，，所以.又，，∴，解得.18.（1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，∴.∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴.又，所以平面，而平面，∴平面平面.（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，∴，.由（1）知，又，∴，，∴，，，∴，∴，.设平面的一个法向量为，则，即，不妨取，则，，∴.而平面的一个法向量为，∴.故二面角的余弦值为.19.（1）由题意可知共答对3题可以分

8、为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.20.（1）由题可知