抢渡长江的数学模型数学建模论文

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1、抢渡长江的数学模型摘要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型.模型一根据问题一给出的条件为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择了游泳方向，并算出了他的成绩为15分10秒，游泳方向为和正河岸成，并且求出了冠军的速度大小为1.54米/秒，和正河岸的夹角为。然后分析了1934年和2002年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，并给出了能够成功到达终点的选手的条件，其中2002年达到终点的选手的最小速度为1.43米/秒。在对随后问题的分析过程中，我们提出了依据水速的变化来变竞渡者速度的方向的思路，然后基于此思路建立了模型二，模型三，在保证能到达终点的前提条件下，提出了竞渡策略,使得到

2、达终点的时间最短。而模型四又提出了一种比较理想化的竞渡策略，即依据水速的变化随时变换人的速度方向，并根据所得的结果提出了一个较合理的水速分布函数，而根据实际情况分析了水速的另一个更为合理的分布函数，建立了改进后的模型五。利用LINGO和MATHMATIC数学软件较好地解决了问题，得到了问题优化解，提出了竞渡策略。在模型二中，求出三个不同区域的速度方向分别为最小时间，并画出最优路线如图3。在模型三中，也求出了三个不同区域的速度方向分别为，最小时间，也绘出最优路线如图4所示）。在模型四中，求得最小时间为885.747秒。在最后又将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空,航天

3、和航海等。一、问题提出中国第一大江——长江万里奔腾龙跃武汉，引出了一道亮丽的风景“渡江大赛”。在看似简单的渡江大赛中玄机不断，奥妙百出。玄机一：同一条江为何在1934年的横渡长江游泳竞赛活动中，44人参加就有40人到达终点，而在2002年的“武汉抢渡长江挑战赛”中186名选手（其中专业人员近一半），仅34人到达终点，相差如此悬殊，其中奥秘耐人寻味。玄机二，在高手如云的参赛选手中为何拿到男女冠军的却分别是中国高中生宋济和17岁的美国女学生爱瑞克·罗斯呢？难道他们自有秘诀？为此本文建立了数学模型很巧妙的解决了上述疑问，仔细分析实际问题其实万事皆有原因，答案尽在其中。二、问题分析在渡江

4、问题中，我们先简化现实问题建立数学模型，在前两问中由于游泳者的速度和方向不变，竞渡区域每点流速均为1.89米/秒，（由定理一）只需保证游泳者能朝着起点（武昌汉阳门码头）到终点（汉阳南岸咀）的方向前进即可。根据第一名的游泳时间和向量分析很容易就可算得她的游泳方向和速度，同时将速度1.5米/秒带入模型中即可得此人的游泳方向，并估算出他的成绩为15分12秒。如果游泳者始终沿和岸边垂直方向游，则他（她）的速度必须达到2.19米/秒，而这一速度是一般人是达不到的（奥运会百米游泳冠军的速度为2.09米/秒）。1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差距主要是由于游泳路线的不同

5、以及水速的差异从而导致到岸的最小速度发生变化，由MATHMATIC算得两个最小速度分别为1.4315米/秒和0.4271米/秒，显然达到前一速度更难。而同时在L不同的情况下所要求的游泳者游泳角度也不同，分别为和，很容易看出当L越小游泳者开始的角度就越大，而根据一般人惯例很少会选择大角度。第三问中流速离岸边距离成三段不同分布区域，游泳者保持速度大小不变，游泳者要成功抵达终点，就必须随着水速来改变自己的速度方向，由于水速在三段区域中一定，我们可以认为人的速度在每个区域保持一个特定的方向。并且在选择的方向中存在一组方向使得游泳者所用的时间最少，由此建立数学模型二。第四问所给的条件是流速

6、离岸边距离成连续分布，对此本文建立了两个模型分别从不同角度分析由于不同水速而给游泳者带来游泳路线的影响。一、游泳者可以按照第三问的方法，即在三个区域中分别选择一个特定的方向渡江，这样能成功到达终点（建立模型三）；二、若游泳者的速度方向时刻变化，游泳者可以沿着一条从起点到终点的直线前进，以最短的时间到达（建立模型四），模型四是较为理想的情况，经过调查研究，参考各种文献书籍，我们认为水速应该呈抛物线分布，于是我们建立了模型五。三、基本假设1、游泳者身体健康在比赛过程中不会出现意外，速度大小不受水速影响，能够按照我们模型的进度前进，在前三问中速度保持在1.5米/秒，在第四问中速度大小也

7、保持不变。1、江中不会出现旋涡、急流等自然现象，江水的速度始终水平于岸边且严格符合题目所给要求。2、两岸保持平行且间距为1160米，在整个竞技区域内江面平缓没有任何障碍物。四、符号说明游泳者的游泳速度；水流速度；合速度(游泳者受水速影响的最终游泳速度)；,起点(武昌汉阳门码头)和终点(汉阳南岸咀)；游泳者游泳方向和水流方向(正岸边方向)夹角；合速度方向和水流方向夹角；T游泳者渡河总时间；第i区域渡河所用时间(i=1,2,3)；第i区域游泳者前进的水平距离(i=1,2,3)；第i区