2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案)

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1、Http://www.fhedu.cn二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1.已知集合，则的非空子集的个数为.2.若，，则.3.若底边长为的正四棱锥恰内切一半径为的球，则此正四棱锥的体积是.4.在平面直角坐标系中，已知点和.圆上的动点与形成三角形，则三角形的面积的最大值为.5.将正整数任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是．6.数列满足，及对于自然数，，则的整数部分是．7.四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列，则的所有根中最大根

2、与最小根之差是.8.设表示不超过实数的最大整数，则在平面上，由满足的点所形成的图形的面积是．二.解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知正项数列满足：（1）；（2）是整数；（3）数列是公比不大于10的等比数列.求数列的通项公式.10.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在C上，若的面积是，求.11.设,,…,为正数，且，求证：．凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　

3、　Http://www.fhedu.cn12.设是一正整数，由不大于的连续10个正整数的和组成集合，由不大于的连续11个正整数的和组成集合。若的元素个数是181，求的最大值和最小值。二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1..2..3..4..5．6.．7..8.．二.解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知正项数列满足：（1）；（2）是整数；（3）数列是公比不大于10的等比数列.求数列的通项公式.解由条件（3）知，其中，于是

4、，.由条件（1）可得，由此，.………………4分因为是整数，故是整数，于是只能是分数，不妨设，其中与互素.注意到是素数，故的取值只能是和,只能为偶数.……………8分同理,由是整数，得知是整数，于是的取值只能是且是的倍数,从而是的倍数.不大于10,所以，故数列的通项公式为，.………………14分10.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在C上，若的面积是，求.解不妨设点P在双曲线的右支，由题设易得.………………2分注意到，解得，……………4分凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：0

5、25-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn又由有，解得.………………6分由双曲线的第二定义得及.再由余弦定理有，………………9分于是由此得．………………14分11.设,,…,为正数，且，求证：．证明因,,…,为正数，由Cauchy不等式得即．………………6分又，所以．………………9分对,,…,和实数，由Cauchy不等式得凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@

6、fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn即,………………12分即，………………15分所以．………………18分12.设是一正整数，由不大于的连续10个正整数的和组成集合，由不大于的连续11个正整数的和组成集合。若的元素个数是181，求的最大值和最小值。解：显然，，………………6分为求的元素个数，令，则。………………9分再令，则得．因为，可取值，此时的相应取值为。………………12分注意到符合的取值范围，舍去不合乎要求的值，则知集合的元素个数为。令，则……………15分即，于是的最大值和最小值分别为2

7、011和2001．……………18分凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn