立体几何复习专题(三)(学生卷)

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1、学校高三下期数学（三）（学生卷）专题三：线线、线面、面面垂直问题专题一、基础梳理1．直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：。说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②“a⊥”等价于“对任意的直线Ì，都有a⊥”；③线面垂直的定义既是判定

2、线面垂直最基本的方法，又是线线垂直最基本的判定定理。练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有__________个；垂线有_______条。（2）过空间任一点作该平面的垂线有_________条；平行线有______条。（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号语言：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥。简称：“线线垂直线面垂直”（注意“线线”的含义！）定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。”已知：a∥b，a⊥。则：。（3）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么

3、这两条直线平行。简称“线面垂直线线平行”。已知：，则：。小结（一）：线线平行的判定方法2.三垂线定理及其逆定理（1）平面的斜线、垂线、射影①垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。第13页（共13页）学校高三下期数学（三）（学生卷）③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的

4、射影。直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。直线与平面垂直射影是点。斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。练习：（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。（）（2）①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_____________；②直线在上的射影是两条相交直线，则与的位置关系是__________________；③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，则这两条直线的位置关系是______

5、_______。（2）射影长相等定理从平面外同一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长。⑶垂线段比任何一条斜线段都短。垂心垂心外心几个常见模型的射影位置：P()ACB内心（3）三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）符号语言：。（4）三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。第13页（共13页）学校高三下期

6、数学（三）（学生卷）符号语言：。注意：（1）三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线。其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。（2）要考虑的位置及平面的选取，并注意两定理交替使用。3.平面与平面垂直（1）两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直（简称“面面垂直”）；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。记为。有一个平面水平放置的两垂直平面要把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直。注：定义给出了面面垂直的判定方法，也给出了面面垂直的性质。（2）两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称“线面垂直面面垂

7、直”）已知：直线平面，平面，垂足为，则：。（3）两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（简称“面面垂直线面垂直”）已知：于点。则：。注：面面垂直的性质定理是证明线面垂直的工具！两平面垂直的其它性质：（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。（2）如果两相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。（3）已知平面⊥平面，平面⊥平面。，且∥，求证∥。小结（二）：二