立体几何复习专题(二)(学生卷)

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1、学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）专题二：空间距离一、基础梳理（1）点到平面的距离（简称“点面距”）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。（2）直线到平面的距离（简称“线面距”）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。（3）两个平行平面间的距离（简称“面面距”）：两个平行平面间的公垂线段的长度。（4）两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度。（5）线段与平面相交于点，且是的中点，则到平面的距离相等。（也可推广到成比例的情形）（此性质常用于转化求点

2、面距）几个距离的转化：二、能力巩固考点一：点到直线的距离求点到直线距离的方法：①利用三垂线定理作出点到直线的垂线，进而解三角形。②借助于三角形面积公式（即面积法）解方程求解。例1．在二面角内有一点，到的距离分别为3和5，求到的距离。发散：点到的二面角的两个面的距离分别为3和5，求到的距离。变式训练1：（1）已知直二面角两点均不在直线上，又直线与成角，且线段，求线段的中点到的距离。（2）如图所示，在正三棱柱中，。第9页（共9页）学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）若二面角的大小为，则点到直线的距离为__________________。考点二：点到平面的距离求点到平面的距离的方

3、法：（1）一般解法：找出或作出过点且与平面垂直的平面，利用面面垂直的性质作出过点且与平面垂直的直线，进而解三角形求解。（2）体积法：利用三棱锥体积相等，通过解方程求距离。（3）转化法：当过点难以作平面的垂线时，可利用线面平行或面面平行或线段的比例关系，转移到另一点上去求。例2.（07辽宁）如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离。　变式训练2：正方体中，、分别为、的中点，设棱长为2。（1）求证：平面平面；（2）求到面的距离。变式训练3：第9页（共9页）学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）（1）（08江西九所

4、重点中学高三联合考试）如图所示，在直三棱柱中，，异面直线与成的角，点分别是棱和的中点，点是棱上的动点。①证明：；②求点到面的距离；③求二面角的大小。（2）平面、、两两垂直，点，到、距离都是1，是上动点，到的距离是到点距离的倍，则点轨迹上的点到距离的最小值是。考点三：异面直线间的距离求异面直线间的距离的方法：（1）公垂线段法——找出异面直线间的公垂线段，然后计算其长度；（2）转化法——利用异面直线距离、线面距、面面距、点面距的关系将异面直线间的距离转化为点面距，然后利用点面距的求法或体积法解决。例3．如图所示，在三棱柱中，第9页（共9页）学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷），为

5、棱上异于的一点。，已知，求：异面直线与的距离。变式训练3：（07重庆）如图所示，在直三棱柱中，，，；点分别在，上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为。（Ⅰ）求异面直线与的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值。第9页（共9页）学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）例4．正方体中，棱长为。（1）求与的距离；（2）设为的中点，求与的距离；（3）设分别为棱的中点，求与的距离。课后作业：1.（1）已知平面∥平面,直线,点,平面、间的距离为8，则在内到点的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点（2）在平面几何中有如下结论：从角的顶点出发的一

6、条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值，类比上述性质，请叙述在立体几何中的相应结论（任选其一）：。（3）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系xAy，动点P的轨迹方程是。（4）已知直线与平面所成的角为，为空间一定点，过作与、所成的角都是的直线，则这样的直线可作（）条A．2B．3C．4D．无数（5）平面的斜线交于点，斜线与平面成角，过定点的动直线与斜线成的角，且交于点，则动点的轨迹是。2.如图，某建筑物的基本单元可近似

7、地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°，再在的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB＝90°。（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离。3．下面的一组图形为四棱锥的侧面与底面。第9页（共9页）学校高三下期数学（文）教案（二）（学生卷）（1）请画出四棱锥的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若，为中点