数学竞赛教师辅导用教材(2011.9)

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1、北京市高职高专数学竞赛辅导教材数学竞赛辅导用教材 根据《2011北京市高职高专大学生数学竞赛大纲》规定的竞赛内容及要求，现将微积分各章节的知识点、典型题及解题思路和技巧等为同学们梳理出来，意在帮助同学们自行复习，同时也作为教师为竞赛班开班辅导的指导素材。第一部分函数、极限、连续㈠竞赛内容大纲1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立．2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数性质及其图形、初等函数．4．数列极限与函数极限的直观描述性定义及基本性质，函数的左

2、极限与右极限．5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较．6．极限的四则运算、两个重要极限．7．函数的连续性概念（含左连续与右连续）、函数间断点的判定（不区分类型）．8．连续函数的性质和初等函数的连续性．9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)．㈡知识点及典型题1.两个函数相等（函数两要素：定义域、对应规则）这两条只要有一条不满足两函数就不同）例1：判断下列各对函数是否相同（1）f(x)=ln(x2-4)与g(x)=ln(x+2)+ln(x-2)（2）f(x)=sinx

3、与解：（1）f(x)的定义域x2-4>0，即>2。g(x)的定义域得x>2。51张耘北京联合大学应用科技学院公共基础部北京市高职高专数学竞赛辅导教材由于f(x)、g(x)的定义域不同，因此两函数不同。（2）f(x)的定义域，g(t)的定义域,且g(t)=sin(2+t)=sint,说明了f(x)、g(t)的定义域及对应规则都相同（註：函数是否相同与变量所用字母无关），因此f(x)与g(t)相同。例2：求下列函数定义域（1）;（2）.解：(1)由得.（2）分段函数定义域为：取各范围定义域之并！，即：例3：求函数值已知求：解：

4、，由此看出：例4：设，求：解:这是分段函数，注意在不同区间上的表达式不同。51张耘北京联合大学应用科技学院公共基础部北京市高职高专数学竞赛辅导教材2．函数的性质（1）有界性：若存在正数M，使，有，称f(x)在D上有界。例：在[1，2]上有界，但在[-1，1]上无界。（2）奇偶性：设D为对称区间,若，恒有f(-x)=-f(x),称f(x)是奇函数；若，恒有f(-x)=f(x),称f(x)是偶函数。例：讨论函数的奇偶性.解:为奇函数。注意：1）讨论奇偶性应在对称区间上。2）  奇偶性判别除了用定义外，还常用下列性质：ⅰ）奇函数

5、之和（差）仍是奇函数；偶函数之和（差）仍是偶函数。ⅱ）奇函数之积（商）是偶函数；偶函数之积（商）是偶函数。ⅲ）奇函数与偶函数之积（商）是奇函数。（3）  周期性：若有,称是以T为周期的周期函数。显然nT(n=)也是f(x)的周期。一般周期是指f(x+T)=f(x)成立的最小正数。例：设周期函数是以T为周期的周期函数，证明是以为周期的周期函数。分析：要证明证明：因为是以T为周期的周期函数，所以,于是：故是以为周期的周期函数。如：是以为周期的周期函数，是以为周期的周期函数。51张耘北京联合大学应用科技学院公共基础部北京市高职高

6、专数学竞赛辅导教材因此的周期是,的周期是（4）  单调性：；；注：单调性还可用导数符号判断：；3.复合函数首先要熟悉六个基本初等函数的形式：（1）      常数函数y=C（2）      幂函数y=xa（3）      指数函数y=ax(a>0且a)（4）      对数函数y=logax(a>0且a)（5）      三角函数sinx,cosx,tgx,ctgx,secx,cscx（6）      反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx复合函数就是以这六个基本初等函数复合而成的函数。例

7、如：是由复合而成的，其定义域由:4.初等函数由基本初等函数经有限次四则运算或复合，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。如：是复合函数，也是初等函数；但只是初等函数，而不是复合函数。5.极限概念（1）数列极限：对于数列若当n无限增大时，无限趋进于某一确定的常数A，则称A为数列的极限。（2）函数极限：对于函数，若在自变量的某一变化过程中，无限趋近于某一确定的常数A，则称A为函数的极限。（3）单侧极限：左极限：，（自变量x从x0左侧趋于x0时函数的极限）51张耘北京联合大学应用科技学院公共基础部北京市高职高专数学竞赛辅导教材

8、右极限：，（自变量x从x0右侧趋于x0时，函数的极限）（4）极限存在条件：例：设，求，.解：。在是分界点，左右侧表达式不一样，处的左、右极限不相等，因此不存在。注：用左、右极限来判定极限的存在性，一般只对分段函数在分界点处求极限时使用!6.求极限的方法归纳（1）四则运算：设皆存在，则（2）连续函数求极限