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《8实验 人口迁移的动态分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实验八 人口迁移的动态分析一实验目的 针对人口迁移问题，建立以每单位时间为阶段的常系数线性系统动态变化模型.使用Mathematica4.0作矩阵运算，并由模型讨论该过程的极限状态是否有稳定解，用于分析、预报、决策和控制该过程.通过讨论状态方程解的稳定性，加深对矩阵特征值、特征向量的理解．二 实验原理 把形如的矩阵方程称作常差分方程组或状态方程，这里是列向量,是矩阵.形式上，它是容易解的，因为每一次迭代都用去乘．于是得到解为是初始条件，称作一步状态转移矩阵.问题在于寻求某种快速计算幂的方法，解决的关键是的特征值和特
2、征向量． 根据线性代数的知识，阶方阵与对角阵相似（即可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量.设可以对角化，则存在可逆阵和对角阵，使得这里，，是对应的特征值的特征向量（1≤i≤）. 将上述结果用于，则自然有从而由矩阵乘法得出由此，可以看出一般解是特解的一个线性组合，其中组合系数由初始条件决定：,或,或从（2）中可以看出它与微分方程某些相近的地方，这将为我们下面要讨论的状态方程解的稳定性带来方便． 一般地，我们有如下结论：常系数线性系统（可对角化），当它的所有特征值时，它是完全稳定的，即（→∞），这保证了初始条
3、件的微小变化所造成的影响会随着的增加而趋于零；当所有时，它是中性稳定的，即有界；当至少有一个特征值时，它是不稳定的，即是无界的，也就是说稳定性依赖于的特征值．这些由公式（2）很容易得到.三 学习Mathematica命令1791.方阵的幂MatrixPower求方阵的幂的命令的形式为MatrixPower[A，n]其中为整数，当时即求逆.例如：输入aa={{1,0,0},{1,1,0},{0,1,1}};MatrixPower[aa,5]输出为{{1,0,0},{5,1,0},{10,5,1}}如果输入MatrixPo
4、wer[aa,-1]则得到逆阵{{1,0,0},{-1,1,0},{1,-1,1}}还有一个求逆阵的命令,输入aa1=Inverse[aa]同样得到逆阵{{1,0,0},{-1,1,0},{1,-1,1}}.不过,如果求逆阵的幂,则用前一个命令较好.只须输入MatrixPower[aa,-5]得到输出{{1,0,0},{-5,1,0},{15,-5,1}}2.Do型循环结构Do型循环结构根据循环描述先计算循环次数，再作循环体，常用于有确定循环次数的循环结构.Do语句的一般形式为Do[循环体，{循环范围}].它有下列形式
5、：Do[表达式，{k}] (计算表达式k次.)Do[表达式，{i，imax}] (计算表达式imax次，其中i的值从1变到imax，每次步长为1.)Do[表达式，{i，imin，imax}] (当i的值从imin变到imax、步长为1，每次都计算表达式.)Do[表达式，{i，imin，imax，increment}] (当i的值从imin变到imax、步长为increment，每次都计算表达式.)Do[表达式，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…] (当i的值从imin变到imax、步长为1、当j
6、的值从jmin变到jmax、步长为1，每次都计算表达式.当j完成一次循环后，i的值增加1，以此类推.这就是所谓的Do循环嵌套.)Do[表达式，{i，imin，imax，i_increment}，{j，jmin，jmax，j_increment}，…](形成一个Do循环嵌套，这时步长是指定值.) 例如：输入t=x;Do[t=1/(1+k*t),{k,2,6,2}];t输出为179输入Do[Print[{i,j}],{i,2},{j,i}]得到输出{1,1}{2,1}{2,2}四 实验内容 例1 对城乡人口流动作年度调
7、查，发现有一个稳定的向城镇流动的趋势：每年，农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁出．现在总人口的60％位于城镇．假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？ 解 为了分析这个问题，开始时，令乡村人口为，城镇人口为，一年以后有或写成矩阵形式两年以后，有.十年以后，有.事实上，它给出了一个差分方程组：，这里，．179 根据前面的讨论，我们首先计算的特征值和特征向量：输入Eigensystem[{{975/1000,1/100}
8、,{25/1000,99/100}}]结果是：{{193/200,1},{{-1,1},{2/5,1}}}从而可知，可以对角化，并且对角阵为，相应的．再输入Inverse[{{-1,2/5},{1,1}}]得逆阵.于是利用公式（1），得到年之后的分布：这就是我们所要的解.容易看出:当→∞时,这个解会达到一个极限状态.这里,总人口仍
