高二数学竞赛讲义 线共点 4

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1、高二数学竞赛班二试平面几何讲义第四讲线共点班级姓名一、知识要点：1.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。2．布利安双定理：设一六角形外切于一个圆，那么它的三双对顶点的连线共点。证明：记六边形ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD，DE，EF，FA上的切点分别是G，H，I，J，K，L。设AB，DC交于X，AF，DE交于Y。则四边形AXDY外切于圆O，切点分别是G，I，J，L。圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点(记为点P)。同理，BE

2、,GJ,KH共点(记为点R),CF,LI,KH共点（记为点Q），则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。3．笛沙格定理;在和中，若相交于一点，则与，与，与的交点共线。证明：和梅尼线，；和梅尼线，；和梅尼线，，三式相乘，得。得证4．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。则H、G、K三点共线。证明：延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。7直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点，则…①直线DE截LM、MN、NL于G、

3、D、E三点，则

4、LG

5、/

6、MG

7、.

8、MD

9、/

10、ND

11、.

12、NE

13、/

14、LE

15、=1…②直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则…③连BE，则LA·LB=LF·LE，∴…④。同理…⑤，…⑥。将①②③④⑤⑥相乘，得。∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上，∴H、G、K三点共线。二、例题精析：例1.以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。例2.设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。7例3.

16、在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分∠CFD。三、精选习题：1.(1999年联赛)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC.2.ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.7四、拓展提高：3.O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切

17、线，其中Q，R分别为O1，O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。4.如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。7高二数学竞赛班二试平面几何讲义第四讲线共点例1以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。证如图。延长HA到M，使AM=BC。连CM，BM。设CM与B

18、F交于点K。在△ACM和△BCF中，AC=CF，AM=BC，∠MAC+∠HAC=180°，∠HAC+∠HCA=90°，并且∠BCF=90°+∠HCA，因此∠BCF+∠HAC=180°，∠MAC=∠BCF。从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，即BF丄MC。同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。例2设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。证如图，过P向三边作

19、垂线，垂足分别为R，S，T。连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N。易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T分别四点共圆，则∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC=∠PRS+∠PRT=∠SRT。同理，∠APC－∠ABC=∠RST，由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=PCsinC，所以PBsinB=PCsinC，那么。由角平分线定理知。故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点。法2延长交△ABC的外接圆与一点例3在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在

20、线段BA上