中正讲座期中书面报告

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1、中正講座期中書面報告第九組主題幾何發展簡史前言:介紹影響幾何學發展的重要思想,以及它們如何演變。並對各項重要思想做概略性的介紹。1.畢氏定理1.歷史發展與由來:勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。在中國，《周髀算經》記載了勾股弦定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理!法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。勾股弦定理指出：直角三角形兩直角邊（即「勾」、「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a2+b2=c22.證明:(1)

2、利用相似三角形的證法設ABC為一直角三角形,直角於角C（看附圖）.從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：因為所以可以寫成綜合這兩個方程式，我們得到換句話說3.勾股弦定理的逆定理勾股弦定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中c為最長邊:·如果，則△ABC是直角三角形。·如果，則△ABC是銳角三角形。·如果，則△ABC

3、是鈍角三角形。2.幾何學幾何學，一般主流的說法，是從歐幾里德(Euclid，希臘人。生於西元前300年前後)開始的，他是當時著名的數學家，以數學經典名著<<幾何原本>>(Elements)聞名於世。幾何，一般來說大家會想到那些簡單的圖形，圓形、三角形、正方形.....等等，然而幾何這個名詞出現於早期的文明(雅典、兩河)。幾何，是從"點"開始的。一個點可以構成一個無窮小的圓，既不占面積，也不佔體積。再由第二點可以延伸出一條無窮盡的直線，不具有寬度的直線。有了第三點以後，才可能構成一個平面。從這一些點、線、面，延伸出了今日多采多姿的幾何圖形。幾何對於現在一切物體的形狀都有深遠的影響。幾何學的應

4、用西方的教堂拱門，是用著上古哲學家們所計算出來的黃金比例所構成的、蜜蜂的窩，是非常完美的六邊形幾何建築概念，之前才被生物學家、建築家發現，這種建造方法，可以使蜂窩的空間利用達到最大、也可以有很高的強度。這些取材自古人以及大自然的幾何觀念，深深的影響著現代的人，例如：賣便當的想著如何用最低的成本和空間製造能塞下最多食物的便當盒、設計飛機的國家就會想說怎樣的形狀可以使飛機的阻力降到最低，以達成省油且加速的效果、室內空間設計師就會想著如何的擺設可以讓人看起來空間寬闊，又不淪為空曠。所以幾何學，影響著每個人的生活，從你早上過馬路看到的紅綠燈，到你中午吃飯的便當盒，還有晚上在台北看到的101大樓。這

5、一切，都跟幾何有著密不可分的關係。3.笛卡兒座標系是世界著名的科學家、哲學家和數學家創建了解析幾何學或稱坐標幾何（CoordinateGeometry）把指數學記號（Exponentialnotation）笛卡兒坐標（Cartesiancoordinates）和求解多項式方程的方法引進了數學我們現在最常用的直角座標系——「笛卡兒座標」（Cartesiancoordinates）。在座標系統的中心點，也就是橫軸與縱軸的交叉點，坐落著零。若給你任何一組用小括弧包起來的數字對，你都能在座標上找到這個「點」的位置。例如：（4,2）是從原點零往右方數4單位，再往上數2單位的那一個點。       笛

6、卡兒領悟到他不可能由1作為基準點，否則這個系統會出現很多問題，而且當時的時代背景是阿拉伯數字普及的環境，所以他選擇由0開始計數。（起初這個座標系統並沒有延伸到負數，但是他的同僚不久後就幫他補上了。）       笛卡兒很快就發現這個座標系統的威力有多強大！每一個幾何物件（正方形、三角形、曲線……）都可以在笛卡兒座標系統上以簡單的方程式 f(x,y)=0（一種數學的關係式）表示出來。       例如：滿足這個方程式的點（x,y）的集合，在座標上形成一個圓心在原點、半徑為1單位的圓。       例如：則可以表示一個凹口向上的拋物線。笛卡兒用座標系統統一了圖形與數字，也統一了西方的幾何學與東

7、方的代數學！4.微積分1.牛頓由於研究萬有引力與運動定律,進而發明了微積分2.研究的範疇有三，包括微分、積分，以及微分和積分兩者之間的關係。微分主要討論一個變量怎樣隨時間（或其他變量）改變，而積分則主要討論計算面積的方法。它們兩者的關係由「微積分基本定理」（或稱「牛頓－萊布尼茨公式」3.微積分基本定理的發現，不但使看起來毫不相關的求積與求變化率的問題關連起來，而且從求積問題的歷史來看是一個真正的革命性突破。微積分基本定理