多元统计分析第六章 因子分析

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1、第6章因子分析6.1因子分析数学模型因子分析是很有用的统计分析工具，因子分析的实质就是找出少量不可观测的随机变量，用它们表示众多的可观测随机变量。以下例子能说明因子分析的意义。例6.1对一个班的学生，进行五门课程（力学、物理、代数、分析、统计）考试，其中力学和物理闭卷考试，代数、分析、统计开卷。这5门功课的成绩是可观测的随机向量。每个学生的成绩可以看成5维随机向量的一个观测,见表6-1。表6-1五门课程考试成绩学生力学（闭卷）物理（闭卷）代数（开卷）分析（开卷）统计（开卷）19297828296278939585963908886

2、8196470877885835787880857866876877988766828080838748583777197775737785107987757760116779757869127082747759136565797078148078737152154670757288167579716955175984686868185784767060197761767260204664777877215976677761226456766479232773767882246468647762256964716268266968

3、61745927597170765128335965729629616780655030476064727931458465676032326164687452335542697676344657636983355174666066367155716950376171726447386057707155395775696448405578686940413870746859426363646652435678646149446167685655经过一定计算（因子分析）后发现存在不可观测的随机变量：、，它们和间有关系（6.1）其中、

4、是不可观测的随机变量。我们认为它们分别表示学生的学习能力和适应开闭卷能力，所以可分别称为学习因子和适应开闭卷因子。（6.1）揭示了这两个因子如何影响5门功课的成绩，也揭示5门课成绩的实质：每门课的成绩由学习因子和适应开闭卷因子的线性组合，加上常数，再加上随机变量而得。这是是很有意义的。象例6.1那样，找出少量不可观测因子（例如、），并给出它们影响可观测随机变量（例如）方式的统计分析，就是因子分析。因子分析与主成分分析不同：主成分分析是寻求若干个可观测随机变量的少量线性组合，说明其含义；因子分析主要的目的是找出不一定可观测的潜在变量

5、作为公共因子，并解释公共因子的意义，及如何用不可观测随机变量，计算可观测随机变量。因子分析方法在心理学，经济，医学，生物学，教育学等方面有重要用途。例如为了测验应聘者的素质，出40道题，让应聘者回答，每道题有一得分，40题得分被认为可以观测的随机变量。我们希望找出有限个不可观测的潜在变量来解释这40个随机变量，这些不可观测的潜在变量不一定能表示为原来随机变量的线性组合，但却是有实际意义的，例如交际能力，应变能力，语言能力、推理能力、艺术修养、历史知识和生活常识等。又如分析生物生长状况时，从生物的实测指标（长、宽和体重等）可以分析出

6、生长因子和控制因子，找出它们在不同时刻的作用。有关因子分析细节可参看方开泰（1989）、Richard(2003)和Gorsuch（1983）。因子分析模型包括正交和斜交因子模型，本书只介绍正交因子分析模型，表述如下：定义6.1设X为p维可观测随机向量，其均值向量为，协差阵为,若X能表为(6.2)32其中是待定常数阵，f是k维随机变量（通常k小于p），u是p维随机向量，且（6.3）则满足条件(6.3)的（6.2）式称为X有k个因子的因子分析模型。f称为公共因子，u称为特殊因子，叫做因子负荷矩阵，其元素称为第i个变量在第j个因子上的

7、负荷。例6.1中，，，，由（6.2）式可见，因子负荷矩阵特别重要：第i个变量的值再加上常数项和特殊因子而成。的大小反映第j个因子对第i个变量的影响。令，则它反映了所有公共因子对X第i个变量的影响大小。定义6.2称为共同度(communality)或共性方差(commonvariance)。例6.1中共性方差是表示这门课程成绩的分散性（它由测试题目的区分度决定）和测量误差，因子分析中不讨论它们。32因子分析的重点在寻求因子负荷阵和解释公共因子，一般不对特殊因子研究。通常，因子分析的计算由X的协方差阵的分解而完成：由(6.2)和(6.

8、3)可见（6.4）由已知解（6.4），可得。其实只要解得即可，因为对角线上元素i=1，…p于是由。但是，（6.4）的解是否存在？如果无解，能否作因子分析？当k=p时，取就是（6.4）的解，因而（6.4）总有解。然而k=p不符合因子分析的目的：用少量