流体力学与应用数学

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1、1流体力学与数学流体力学可以被看做是应用数学的一个分支学科，所以还是从流体力学与应用数学和计算数学的关系开始。1.1流体力学与应用数学的关系流体力学是力学的一部分，也是应用数学的一门重要课程或一个重要的应用数学学科分支。近代科学的发展，就是开始于力学，其最有影响力的人物自然是牛顿。现代科学的发展一日千里，常使我们有一幻觉，以为力学、牛顿等等，一定是不知几千百年前的老古董。其实牛顿的“自然科学的数学原理”在1687年才发表，距今仅仅三百余年。1687年是康熙廿六年，从中国史的眼光看，实在是太近的近代了。牛顿的力学是以质点力学为主。这是很自然的。因为

2、无论苹果或行星的运动，把它们当质点看，确是很近似的。牛顿力学的主要内容在其牛顿第二定律用一句话来说就是：“质点的加速度乘质量，与所受外力成正比”。多么简洁漂亮的自然之规律。如果我们令m是质点的质量，a是加速度，F是外力，牛顿第二定律就可写成：。即（1.1.1）不要看轻这一简单的方程式。从这一简单的方程式，就可给出行星运行的规律，宇宙飞船的轨迹等等看起来超级复杂的自然科学与工程技术难题的解释说明。我们大概都会骑自行车，而自行车的运动原理也可从这一方程推出，虽然这一问题或者说过程并不简单。流体力学的主要内容，也可说是包括在这一方程中。我们要知道，牛顿

3、定律是可用于任何物质质点的。如果我们专注于流体中某一特别小团的分子,今后称其为微团，而微团的运行当然是遵从牛顿定律的。我们所取的微团通常包含有千千万万的分子，且微团的典型长度确又是很小很小的，而微团就可以当作质点来看。所以方程就可以应用来研究、分析这一问题了。在方程中，F23是外力。就地球在太阳系中的运行而言，这外力主要是太阳，月亮及其它行星作用于地球上的引力。对钟摆而言，主要的外力是地心引力及摆链的拉力。对于流体中的微团而言，除了地心引力等外力以外，还有一种更重要的力，就是附近其它流体质点作用在它上面的力。因为流体微团是沉浸在流体中，是与流体的

4、其它质点相接触的，它们相互之间当然有力的作用。这种力可以看作只作用在流体微团的表面上。举例言之，当我们下水游泳时，可以感到水的压力，这水压显然是作用在我们身体的表皮上。因此我们可以想象任何水的微团一定也感到同样的压力。这种力我们通常叫做应力。这种流体微团感到附近流体作用于其表面的应力，依照牛顿第三定律，有与之相同的应力反作用于其附近的流体上。所以当我们写下附近另一流体微团满足的方程时，其所受的力F，来自这一接触面的部分，这正是反作用的应力。因为每一流体微团都要满足那样的方程，我们就应该一一写下它们的方程。如果每一微团大小约与每边10-6厘米的立方

5、体相当，其体积就大约是10-18立方公分。要研讨一立方公分流体的运动情形，就得分析1018个像F=ma那样的方程式。如真要这样，不用说计算，就光是写那些方程式，恐怕就需几万万年。流体力学当然就无从发展了。一个办法是用流体微团的位置来分别表明不同的微团。假定是流体微团原来的位置。因此这原来在的流体微团，在时间t的位置就可用来表示。这样一来，这1018个像这样的方程式，就可用一个偏微分方程来表达：（1.1.2）从（1.1.1）到（1.1.2），可说是质点力学到流体力学很重要的一步。下一问题就是如何适当地表达F。以方程（1.1.2）而言，显然我们还未曾

6、利用流体的特性。所以（1.1.2）也一样可用于固体力学。利用流体的特性，将F与流体流动的性质关联起来，就是另一重要步骤。这一步骤通常也可用偏微分方程来表达。这种偏微分方程叫做本构方程。物体之分别为固体、流体，以及什么样的固体或流体，就表现在它们的本构方程上。23方程（1.1.2），加上本构方程，再加上另一表示质量守恒的方程，就构成流体力学的基本方程。这里的本构方程可以说就是归纳宏观实验结果，建立有关物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。最熟知的本构关系有胡克定律、牛顿粘性定律、理想气体状态方程、热传导方程等。两千多年前的阿几米德既是

7、静力学，也是流体静力学的始祖。牛顿则是流体动力学的始祖，声速的公式就是他首先导出的。普通流体如水、如空气都有所谓的黏性，代表一种对流动的阻力。表达这种阻力的本构方程，其基本观念的提出也可上溯到牛顿。这也是何以一般流体常叫做牛顿流体的原因，而有别于一些较不普通的非牛顿流体，如沥青、血液等。牛顿于1727年离世，其后近两百年间，流体力学有很大的进展。但大体而言，这期间流体力学的发展也可说是数学的发展。十九世纪的热力学及气体动力学（KineticTheoryofGases）的兴起，对流体力学有着重要的影响。但是除此以外，在对流体的一般物理性质的研究方面

8、，比牛顿时代，并没有增加多少。因此流体力学中的问题，主要的也就是数学上的问题。牛顿以后的许多大数学家如Bernoulli，Euler,L