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《04-05(2)《空间解析几何与线性代数》期终》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、04-05学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题一(24%)填空题:1.以点A(1,1,2),B(-2,-1,1),C(-1,1,-1)为顶点的三角形的面积为;2.设3阶矩阵A=[a1,a2,a3],B=[a2+a3,a1-2a3,a1].若A的行列式
2、A
3、=3,则B的行列式
4、B
5、=.3.若向量a=(1,0,1),b=(2,1,-1),g=(-1,1,k)共面,则参数k=;4.若A为n阶方阵,则方阵B=的逆矩阵B-1=(其中I是n阶单位矩阵,O是n阶零矩阵);5.已知向量h=是矩阵A=的特征向
6、量,则参数a=,相应的特征值等于;6.假设矩阵A=,则在实矩阵B=,C=,D=,E=,F=中,与A相抵的有;与A相似的有;与A相合的有;二(8%)计算行列式。三(10%)假设A=,B=,求矩阵方程3X=B+XA的解.四(14%)假设矩阵A=,q=,b=.1.已知齐次线性方程组Ax=q的基础解系中含有两个线性无关的解向量,试确定这时参数l的值,并求这时Ax=q的一个基础解系.2.若在非齐次线性方程组Ax=b的解集中存在两个线性无关的解向量,但不存在更多的线性无关的解向量,试确定这时参数l及a的值,并求这
7、时Ax=b的通解.五(10%)已知直线l过点P(1,1,3),与平面p:x+y-z=1平行,且与直线l:相交.求直线l的方向向量,并写出直线l的方程.六(10%)假设二次曲面p1的方程为:x2+4y2=2z;平面p2的方程为:x=z-1.1.p1与p2的交线向xOy平面作投影所得的投影曲线l的方程为..该投影曲线绕x轴旋转所得的旋转曲面p的方程为.2.在坐标系(1)中画出投影曲线l的草图(请给坐标轴标上名称).3.在坐标系(2)中画出p1与p2所围成的立体的草图(请给坐标轴标上名称).七(14%)设二
8、次型f(x1,x2,x3)=-x12+2x22-x32+2kx1x3.1.试就参数k不同的取值范围,讨论二次曲面f(x1,x2,x3)=1的类型.2.假设k>0.若经正交变换x=Qy,f(x1,x2,x3)可化成标准形2y12+2y22-4y32,求参数k及一个合适的正交矩阵Q.八(10%)证明题.1.假设n维向量b1=aa1+ba2,b2=ca1+da2.若b1,b2线性无关.证明:a1,a2线性无关,且行列式.2.假设A,B都是n阶实对称矩阵,并且,A的特征值均大于a,B的特征值均大于b,证明:A
9、+B的特征值均大于a+b.04-05学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一(24%)填空题:1.以点A(1,1,2),B(-2,-1,1),C(-1,1,-1)为顶点的三角形的面积为;2.设3阶矩阵A=[a1,a2,a3],B=[a2+a3,a1-2a3,a1].若A的行列式
10、A
11、=3,则B的行列式
12、B
13、=-24.3.若向量a=(1,0,1),b=(2,1,-1),g=(-1,1,k)共面,则参数k=-4;4.若A为n阶方阵,则方阵B=的逆矩阵B-1=(其中I是n阶单位矩阵,O是n阶零矩
14、阵);5.已知向量h=是矩阵A=的特征向量,则参数a=1,相应的特征值等于3;6.假设矩阵A=,则在实矩阵B=,C=,D=,E=,F=中,与A相抵的有B,C,D,F;与A相似的有F;与A相合的有B,C;二(8%)计算行列式按第3列展开´(-1)===(1-x)2(1-x-x2).三(10%)假设A=,B=,求矩阵方程3X=B+XA的解.解:原方程可化为X(3I-A)=B,其中I表示单位矩阵,3I-A=,初等列变换==.于是可得X=B(3I-A)-1=.(注意X未必等于(3I-A)-1B!)四(14%)
15、假设矩阵A=,q=,b=.1.已知齐次线性方程组Ax=q的基础解系中含有两个线性无关的解向量,试确定这时参数l的值,并求这时Ax=q的一个基础解系.2.若在非齐次线性方程组Ax=b的解集中存在两个线性无关的解向量,但不存在更多的线性无关的解向量,试确定这时参数l及a的值,并求这时Ax=b的通解.初等行变换解:1.A=.因为齐次线性方程组Ax=q的基础解系中含有两个线性无关的解向量,所以秩(A)=1,因而l=1.此时=.由此可得Ax=q的一个基础解系:,.2.若非齐次线性方程组Ax=b的解集中有两个线性
16、无关的解向量,但不存在更多的线性无关的解向量,则Ax=q的基础解系中只有一个线性无关的解向量.所以秩(A,b)=秩(A)=2.此时l=-1.初等行变换[A,b]=.可见a=-2,Ax=b化为,于是Ax=b的通解为:(c为任意数).五(10%)已知直线l过点P(1,1,3),与平面p:x+y-z=1平行,且与直线l:相交.求直线l的方向向量,并写出直线l的方程.解:过点P(1,1,3)且与平面p:x+y-z=1平行的平面方程为:(x-1)+(y-1)-(z
