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《03-04(2)《空间解析几何与线性代数》期终》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题一(24%)填空题:1.若向量,,共面,则参数a,b满足2.过点P(1,2,1)且包含x轴的平面方程为.3.已知矩阵A满足A2+2A-3I=O,其中I表示单位矩阵,则A的逆矩阵A-1=4.设矩阵A=,B=,则行列式
2、A2B-1
3、=.5.设向量组a1=,a2=,a3=,则当参数时,a1,a2,a3线性相关.6.向量空间R2中向量h=(2,3)在R2的基,与a=(1,1)b=(0,1)下的坐标为7.满足下述三个条件的一个向量组为这三个条件是:①它们是线性无关的;②其中的每个向量均与a=(1,2,1)正交;③凡与a正交的向量均可由它们线性表示
4、.8.已知2×2矩阵A=,若对任意的2维列向量h有hTAh=0,则abcd满足条件.二(12%)假设矩阵A,B满足A-B=AB,其中A=,求B.三(15%)设向量a1=(a,2,10)T,a2=(-2,1,5)T,a3=(-1,2,4)T,b=(2,b,c)T,问当参数a,b,c满足什么条件时1.b能用a1,a2,a3唯一线性表示?2.b不能用a1,a2,a3线性表示?3.b能用a1,a2,a3线性表示,但表示方法不唯一?求这时b用a1,a2,a3线性表示的一般表达式.四(8%)设实二次型f(x,y,z)=x2+y2+z2+2axy+2ayz.问:实数a满足什么条件时,方程f(x,y,z)=
5、1表示直角坐标系中的椭球面?五(12%)设3阶方阵A的特征值为2,-2,1,矩阵B=aA3-4aA+I.1.求参数a的值,使得矩阵B不可逆.2.问矩阵B是否相似于对角阵?请说明你的理由.六(12%)已知二次曲面S1的方程为z=3x2+y2,S2的方程为z=1-x2.1.问:S1与S2分别属于哪一类二次曲面?2.求S1与S2的交线在xOy平面上的投影曲线方程;3.画出由S1与S2所围成的立体的草图.七(10%)设3×3实对称矩阵A的秩为2,并且AB=C,其中B=与C=.求A的所有特征值及相应的特征向量;并求矩阵A及A9999.八(7%)证明题:1.设h1,h2,…,ht是齐次线性方程组Ax=q
6、的线性无关的解向量,b不是其解向量.证明:b,b+h1,b+h2,…,b+ht也线性无关.2.设A是n阶正定矩阵,证明:
7、I+A
8、>1,其中I是n阶单位矩阵.03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一(24%)填空题:1.若向量,,共面,则参数a,b满足ab=1.2.过点P(1,2,1)且包含x轴的平面方程为y-2z=0.3.已知矩阵A满足A2+2A-3I=O,其中I表示单位矩阵,则A的逆矩阵A-1=.4.设矩阵A=,B=,则行列式
9、A2B-1
10、=1/70.5.设向量组a1=,a2=,a3=,则当参数k=0时,a1,a2,a3线性相关.6.向量空间R2中向量h=(2,3)
11、在R2的基,与a=(1,1)b=(0,1)下的坐标为(2,1).7.满足下述三个条件的一个向量组为(-2,1,0),(1,0,-1),这三个条件是:①它们是线性无关的;②其中的每个向量均与a=(1,2,1)正交;③凡与a正交的向量均可由它们线性表示.8.已知2×2矩阵A=,若对任意的2维列向量h有hTAh=0,则abcd满足条件a=d=0,b=-c.二(12%)假设矩阵A,B满足A-B=AB,其中A=,求B.解:(法一)由A-B=AB得(A+I)B=A,其中I表示单位矩阵.A+I=.A+I的行列式
12、A+I
13、=1,伴随矩阵(A+I)*=.因而(A+I)-1=.于是B=(A+I)-1A==.(注
14、意B未必等于A(A+I)-1!)(法二)由A-B=AB得(A+I)B=A,其中I表示单位矩阵.A+I=.初等行变换[A+I,A]==[I,(A+I)-1A]于是B=(A+I)-1A=.三(15%)设向量a1=(a,2,10)T,a2=(-2,1,5)T,a3=(-1,2,4)T,b=(2,b,c)T,问当参数a,b,c满足什么条件时1.b能用a1,a2,a3唯一线性表示?2.b不能用a1,a2,a3线性表示?3.b能用a1,a2,a3线性表示,但表示方法不唯一?求这时b用a1,a2,a3线性表示的一般表达式.解:令A=[a3,a2,a1]=,(注:这里把a3放在第一列纯粹是为了方便)初等行变
15、换[A,b]==1.当参数a¹-4时,秩(A)=3,此时b能用a1,a2,a3唯一线性表示.2.当参数a=-4,而b-c¹4时,秩(A)=2,秩(A,b)=3,此时b不能用a1,a2,a3线性表示.3.当参数a=-4,且b-c=4时,秩(A)=秩(A,b)=2,此时b能用a1,a2,a3线性表示,但表示方法不唯一.初等行变换这时=由此可得Ax=b的通解,其中x3为自由未知量.因而b用a1,a2,a3线性表示的
