08圆锥曲线教案 椭圆的几何性质

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1、椭圆的几何性质教案 教学目标1．使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形．2．使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．3．培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备．教学重点与难点椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解．教学过程一、复习提问师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们

2、回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？生：当焦点在x轴上时方程为：当焦点在y轴上时方程为：师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂

3、．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．11师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．二、讲授新课(一)从定义方面研究1．焦点通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是：当焦点在x轴上时方程为：左焦点：F1(-c，0)，右焦点；F1(c，0)．当焦点在y轴上时方程为：下焦点：F1(0，-c)，上焦点：F1(0，c)．2．椭圆的第二定义、准线方程及离心率(可由学生完成，

4、指定一名学生在黑板上板演)师：求轨迹方程的方法，步骤是什么？生：当不知道轨迹时，可以采用轨迹法(包括直接法、转移代入法等)，其步骤是：建立直角坐标系，且给出动点坐标，找动点满足的几何条件，坐标化，化简得方程，检验．11最后教师指出：点M的轨迹是椭圆．并纠正如下：依题意：所求轨迹就是集合：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，令a2-c2=b2，得请学生叙述椭圆的第二定义．生：平面上，到定点距离与到定直线距离之比等于定值e(0＜e＜1)的点的轨迹叫椭圆．师：很好！我们把这一定义称作椭圆的第二定义．要

5、注意的是，在这一定义中的：“平面上、0＜e＜1”等条件．另外，我们把定值e=师：请计算下面椭圆的离心率，并画出椭圆图形．生：离心率分别为0.5，0.6，0.8，椭圆的图形可让学生画在笔记上．师：随着离心率的增大，椭圆的形状发生了怎样的变化？生：随着离心率的增大，椭圆的形状是越来越扁．11你有什么发现？趋近于一条线段．师：可见，通过研究离心率的变化，可以进一步证实我们上一节的结论：圆是椭圆的特例，只有当2a＞

6、F1F2

7、时，轨迹才是椭圆．师生共同小结：当e越接近于1时，c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之

8、，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆．师：可见离心率e是刻画椭圆圆扁程度的量．几条准线？你能根据上例写出它们的方程吗？你能画出来吗？生：一个椭圆有两条准线．师：很正确．为了方便，我们将相对于左焦点的准线叫左准线，另一条就叫右准线，如图2-31．11(二)从标准方程方面研究3．椭圆的顶点师：请问怎样才能求出直线Ax+By+C=0(AB≠0)与坐标轴的交点呢？生：只要分别令x=0及y=0，解出相应的y及x即可．学生自然会想到分别令x=0及y=0，解出相应的y=0及x=0代入椭圆方程得到4个顶点，坐标分

9、别是：A1(-a，0)， A2(a，0)， B1(0，-b)， B(0，b)师：如果我们定义曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点，那么以上4个点都叫椭圆的顶点．同时我们将线段A1A2，B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴．师：请你根据方程说出椭圆的长轴长和短轴长．生：其中长轴长为2a，短轴长为2b．师：另外我们将a叫半长轴长，b叫半短轴长．(三)从椭圆的图形和方程方面研究4．椭圆的范围师：首先我们通过椭圆的图形来研究椭圆的范围．(就相当于研究函数的定义域和值域．)师：观察椭圆的图形，你能发现椭圆位于怎样的范围内吗？生：

10、椭圆位于一个矩形内，如图2-32．师：你能用数学式子表示此矩形吗？(教师可以通过顶点坐标启发学生进行思考．)11生：可以用

11、x

12、≤a，且

13、y

14、≤b表示．师：下面我们来观察椭圆的标准方程，请你说说它的形式有什么特点？生：椭圆的方程左边是两个平方项的和，右边是定值1．师：据此，你能得到什么结论？生：由于两个非负数的和是定值，因此方程中的x，y必然取得有限的值，也就是椭圆必然在一个一定的范围内．师：能证明