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1、双曲线及其标准方程（教案）汨罗市三中许艳军【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】:双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】:双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】:一、问
2、题引入：（5分钟）1、多媒体展示GPS全球卫星定位导航系统的图片2、问题1：椭圆是如何定义的？平面内与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹3、问题2：平面内与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？4、设计数学实验：实验工具：一条长拉链，两颗图钉，一支铅笔，一块小黑板实验步骤：（1）、取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间一点，分别固定到F1，F2上（2）、把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者合拢，笔尖就画出一条曲线.（3）、将一条边的端点固定在F2，另一条边选
3、择中间一点（与1中的中间一点为同一点）固定在F1，同样的操作可以画出另一条曲线。（动画演示拉链画双曲线）5、思考：这条曲线是满足什么条件的点的集合？P=｛M
4、︱
5、MF1
6、-
7、MF2
8、︱=2a｝上面两条曲线合起来叫做双曲线。每一条叫做双曲线的一支揭示课题：双曲线及其标准方程二、概念形成：（18分钟）1、思考：你能类比椭圆的定义得到双曲线的定义吗？（2分钟）定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距强调概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值
9、”、“常数小于”2、概念的理解：（分组讨论）（3分钟）（1）平面内与两定点的距离的差等于常数2a（2a<
10、F1F2
11、）的轨迹是什么？双曲线的一支（2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（2a=
12、F1F2
13、）的轨迹是什么？在直线F1F2上且以F1、F2为端点向外的两条射线（3）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（2a>
14、F1F2
15、）的轨迹是什么？不存在介绍数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—约公元前190年）古希腊最著名的几何学家，代表作有《圆锥曲线论》等。他是人类历史上第一个给出双曲线名称的数学家。（让学生
16、感受到数学文化的熏陶）3、标准方程的推导：（讨论——交流——探究）（9分钟）现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。(2)设点设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）.（3）列式由定义可知,双曲线上
17、点的集合是P={M
18、
19、
20、MF1
21、－
22、MF2
23、
24、=2a}.即:（4）化简方程由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：移项两边平方得两边再平方后整理得由双曲线定义知这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）。思考1：你能在x轴上找一点A，使得︱OA︱=a吗？思考2：你能在y轴上找一点B，使得︱OB︱=b吗？讨论：焦点在y轴上的双曲线标准方程是什么?4、标准方程的类型：（2分钟）定义图象方程焦点a,b,c的关系焦点在二次项系数为正的坐标轴上(1)双曲线的标准方程的特点：①双曲
25、线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)②有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上5、双曲线与椭圆之间的区别与联系（2分钟）相同点1、焦点坐标相同，焦距相等2、a,b,c大小满足勾股定理不同点1、
26、椭圆中a最大，双曲线中c最大2、椭圆方程中“+”，双曲线中“-”3、判断焦点位置方法不同：椭圆看分母大小，双曲线看二次项系数的正负三、概念巩固：（15分钟）一层练习：（各显身手）（2分钟）（1）已知双曲线方程为，则a=2，b=焦点坐标为（0，,3），（0，-3）。（2）=4，
