§4.4同角三角函数的基本恒等式

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1、§4.4同角三角函数的基本恒等式预备知识·恒等变形的知识·证明恒等式的基本方法·乘法公式重点·同角三角函数的基本恒等式及其应用难点·应用同角三角函数基本恒等式，结合常用的解题技巧，进行求值、化简和证明学习要求·理解并熟记同角三角函数的基本恒等式·能应用同角三角函数基本恒等式，结合常用的解题技巧,进行求值、化简和证明146－六个三角函数是在同一个直角三角形中定义出来的，即使推广到了任意角，仍然与三角形密切相关．同一个直角三角形的边角之间是存在一定关系的，反映在同一角的三角函数之间也必定存在一定的关系．本节的内容，就是揭示同角三角函数间的关系，并应用这些关系于求值、化

2、简等问题中．1.同角三角函数的基本恒等式根据三角函数的定义，立即可以得到下列基本恒等式：倒数关系式sina×csca=1，cosa×seca=1，tana×cota=1；商数关系式，；从三角函数定义，经过简单推导，并应用勾股定理，又能得到平方关系式sin2a+cos2a=1；1+tan2a=sec2a；1+cot2a=csc2a．如从sina=,cosa=Þsin2a+cos2a=()2+()2==1(见图4-16)；又如1+tan2a=1+()2==sec2a．上述三种、八个关系，称为同角三角函数的基本恒等式．之所以称之为“恒等式”，是因为这些等式，对所有使出现

3、在等式中的三角函数有意义的角a，都是成立的．同角三角函数的基本恒等式，是三角函数最重要的特性之一，今后经常应用，你必须熟记．2.同角三角函数基本恒等式的应用　　(1)已知一个角的三角函数值，求同角的其余三角函数值　　应用同角三角函数的基本恒等式，只要知道了角a的一个三角函数值和a是哪个象限角，就能求出a的其余三角函数值．　　例1(1)已知cosa=，并且a是第二象限角，求a的其余三角函数值；(2)已知tana=，并且a是第三象限角，求a的其余三角函数值；(3)已知sina=-0.35，并且a是第四象限角，求a的其余三角函数值(保留四个有效数字)；(4)已知tana

4、=-11.4，并且a是第二象限角，求a的其余三角函数值(保留四个有效数字)．146－　　解(1)由sin2a+cos2a=1，可得sina=±．因为a是第二象限角，sina>0，所以sina===；因为，所以；再应用倒数关系，即得cota=，csca=，sec=▍534图4-25注意，本题也可用几何方法来解．从cosa=，立即可以画出如图4-25那样的三角形，由此立即可以得到ïsinaï,ïtanaï，然后再根据a是第二象限角得到结果．(2)用几何解法．从tana=，立即可以画出如图572图4-264-26那的三角形，由此立即可以得到　　ïsinaï=，ïcosa

5、ï=，因为a是第三象限角，sina<0,cosa<0，所以sina=-=-；cosa=-=-；据倒数关系，又可得cota=，csca=，sec=▍(3)由平方关系sin2a+cos2a=1，可得cosa=±；因为a是第四象限角，cosa>0，所以　cosa==»0.9367；　　　　tana=»-0.3737；据倒数关系cota=-2.676,csca=-2.857,seca=1.068▍(4)由平方关系1+tan2a=sec2a及所在象限，可得seca=»-11.4438；由倒数关系cosa=，得到146－　　　　cosa=»-»-0.0874；再由平方关系si

6、n2a+cos2a=1，并注意a是第二象限角，得到　　　　sina==»0.9962；最后应用倒数关系得cota=-0.08772,csca=1.004▍从上面四个典型例子可见：知道了角a的一个三角函数值和a是哪个象限角，求a的其余三角函数值的问题，可以有两种解法．第一种，若已知的三角函数值是以数字不大的分数形式给出的，或者虽然用小数形式给出，但化为分数后数字也不大，则用几何方法比较简单；否则用第二种方法，利用同角三角函数恒等式来解．用后一种方法时，在不同已知条件下，采用不同步骤：弦(平方关系)®弦®切，或切(平方关系)®割®弦．它的含义，表示若已知正弦(或余弦)

7、，则总是先用sin2a+cos2a=1算出余弦(或正弦)，然后算正切、余切；若已知正切(或余切)，则总是先用1+tan2a=sec2a(或1+cot2a=csc2a)算出正割(或余割)，然后用倒数关系算余弦(或正弦)．课内练习1(1)已知cosa=，并且a是第四象限角，求a的其余三角函数值；(2)已知cota=-，并且a是第二象限角，求a的其余三角函数值；(3)已知cosa=-0.35，并且a是第三象限角，求a的其余三角函数值(保留四个有效数字)；(4)已知cota=2.4，并且a是第三象限角，求a的其余三角函数值(保留四个有效数字)．　　(2)化简三角函数式　　

8、应用同角三