第一章牛顿力学的基本应用答案

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1、第一章牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】1质点运动的描述（1）直线坐标系（2）平面极坐标系（3）自然坐标系（4）柱坐标系〈析〉上述矢量顺序分别为：矢量微分：14（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的矢量表述（1）直角坐标系中（2）极挫标系中（3）自然坐标系中3质点运动的基本定理几个量的定义：动量角动量冲量力矩冲量矩14动能（1）动量定理方向上动量守恒：（2）动量矩定理（3）动能定理4机戒能守恒定理T+V=E〈析〉

2、势函数V:稳定平衡下的势函数：;此时势能处极小处且能量满足【解题演示】1.1细杆OL绕固定点O以匀角速率转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度和加速度。解：依几何关系知：又因为：14故：1.2椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。解：依题知：且：得：又因M点位置：故有：代入（*）式得：即：1.3一半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度和加速度（以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量

3、总是沿圆盘半径指向圆心。解：设O点坐标为（）。则M点坐标为（）故：1.4一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。14解：依题知：且O点处：则：1.5已知某质点的运动规律为：y=bt,,a和b都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度和加速度。解：得：1.6已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr和µθ，这里μ和λ是常数。求出质点的加速度矢量.解：由题知：且：故：141.7质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：设速度为。则

4、：由于与为正交矢量。即得证。1.8一质点沿心脏线以恒定速率v运动，求出质点的速度和加速度.解：设且有：解得：得：则：1.9已知质点按运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。解：（1）极坐标系下：由得：且设：14则：得：则：径向与横向的分量分别为，。1.10质点以恒定速率沿一旋轮线运动，旋轮线方程为。证明质点在方向做等加速运动。解：依题意：得：则：1.11一质点沿着抛物线运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发，求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。解：建立自然坐标系有：14且：积分得：（代入）又因为：在点处斜率：在

5、点处斜率：故：即：1.12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。解：设空气阻力为，且小球初速为，质量为没，则有：上升时间：上升高度：下落时间：得：即得证。141.13质量为的质点自离地面高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：设加速度为，速率为，则：得：积分并代入时有：知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。1.14将一质量为的质点以初速度与水平线成角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的倍，这里是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需时间。解：依牛顿第二运动定律有：积

6、分并代入初始条件：时：解得：当再次夹角为时：可解出：1.15一质量为的质点用一长度为的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是14时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是，此时绳中的张力为。解：依得：则：又因为：得：故：即得证。1.16滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的

7、静止伸长。解：（注：此题中）设最大伸长为有：依能量守恒：解得：则：1.17两个相同的轻质弹簧，劲度系数为，自然长度是，在它们中间竖直地串接一质量为14的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是。设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律。17解：质点运动时势能在平衡时：得:且运动时受力满足：代入初始条件:可解得：1.18两个质量都是的质点A和质点B用一自然长度为的轻质弹簧相