专题企划：马里奥!传奇的25年之经典回顾篇

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1、第一章随机事件与概率亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。──祖冲之内容提要1.事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：）2.确定概率的三种方法：频率方法（）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：）；几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：）；3.概率的公理化定义及其简单性质（1）公理化定义：概率是定义在事件域F上的非负、规范、可列可加的实值函数：（2）性质：4.条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes公式）（1）条件概率的定义直观上的定义：已知A

2、出现的条件下B发生的概率称为在A发生的条件下B的条件概率，记作；数学上的定义：。（2）三大公式乘法公式：；一般地，若，则全概率公式：设是样本空间的一个分割，且，则对任意事件有。Bayes公式：设是样本空间的一个分割，且，，则5.事件独立性与Bernoulli概型（独立性的实质及应用，Bernoulli概型的三个模型）（1）两事件A与B的独立性：事件A发生与否对事件B是否发生没有影响，则称A与B独立；数学上：A与B独立；A与B独立，且。一组事件的独立性：若发生与否互相没有影响，则称相互独立；数学上相互独立（称为两两独立）（称为三三独立）¼¼¼¼，（称为nn独立）（3）试验的独立性结果独立的试

3、验称为独立试验；伯努利试验：只有两种结果的试验；重伯努利试验：将伯努利试验独立地进行次的试验；独立试验序列：一系列相互独立的试验。6.典型问题问题1:事件的表示与运算问题2:概率的基本公式及应用问题3:古典概型与几何概型的直接计算问题4:事件的独立性及其实质问题5:乘法公式与交事件的计算问题6:全概率公式与Bayes公式问题7:Bernoulli试验序列的相关结论牢记：概率论中的每个数字和记号都有特定的意义，要学会将数字用概率论中的记号表示。一、填空题1.写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则=；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生

4、产产品的总件数，则=；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，用0表示次品，1表示正品，则=；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则=；（5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则=；（6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设x,y,z分别表示三段长度，则=；（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则=；（8）记录某城市一天内的用电量，则=。2.设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）“A发生，B与C不发生”=；（2）“A与B都发，而C不发

5、生”=；（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。3.在抛三枚硬币的试验中，1表示正面，0表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1）“至少出现一个正面”=；（2）“最多出现一个正面”=；（3）“恰好出现一个正面”=；（4）“出现三面相同”=。4.设，则（1）；（2）（3）；（4）。5.设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当时，P（AB）取到最大值，最大值=；（2）当时，P（AB）取到最小

6、值，最小值=。解：（1）观察上式，已知P(A)，P(B)均固定，当最小时，P(AB)最大。当，即时，最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为P(AB)=P(A)=0.6。（2）当最大时，P(AB)最小。当时，取得最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为=0.6+0.7-1=0.3。6.设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率=。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“”，进而想到公式：解：至少有一个发生：其中7.设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0

7、,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率=。解：事件A,B,C都不发生：8.在一标准英语词典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词，若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，则能排成上述单词的概率=。要点：古典概型，，分子=A中基本事件个数，分母=中基本事件个数。首先要弄清楚基本事件是什么，再用排列组合知识计算两个“数”。解：基本事件：从26中选1，再从（26-1）中选1，S中个数=，则能排成上述单词