概率论与数理统计第五章习题详解 (2)

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1、习题五1.已知，，利用切比雪夫不等式估计概率.解：据切比雪夫不等式.2．设随机变量的数学期望，方程，利用切比雪夫不等式估计.解：令，则由切比雪夫不等式，有.3.随机地掷颗骰子，利用切比雪夫不等式估计颗骰子出现点数之和在之间的概率.解：设为颗骰子所出现的点数之和；为第颗骰子出现的点数，，则，且独立同分布，分布律为：，于是18所以，因此故由切比雪夫不等式得：.即颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于.4.对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为，方差为，求在次炮击中，有颗到颗炮弹击中目标的概率.18解：以表示第次炮击击中的颗数有，据定理：则.5.一盒同型号螺丝

2、钉共有个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是，标准差是.求一盒螺丝钉的重量超过的概率.解：设为第个螺丝钉的重量，，且它们之间独立同分布，于是一盒螺丝钉的重量，且由，知，，由中心极限定理有：18.6.用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从上的均匀分布.（1）若有个数相加，则其误差总和的绝对值超过的概率是多少？（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于的概率达到以上.解：设为第个加数的取整舍入误差，则为相互独立的随机变量序列，且均服从上的均匀分布，则（1）因很大，由独立同分布中心极限定理对该误差总和，1

3、8.即误差总和的绝对值超过的概率达到.(2)依题意，设最多可有个数相加，则应求出最大的，使得由中心极限定理：.即查正态分布得即取，最多可有个数相加.7.在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为，参加保险的人在年第天交付保险费18元，死亡时家属可以从保险公司领取元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.解以表示年死亡的人数依题意，注意到其概率为.即保险公司亏本的概率几乎为.8.假设是独立同分布的随机变量，已知.证明：当充分大时，随机变量近似服从正态分布.证明：由于独立同分布，则也独立同分布由有，因此，根据中心极限定理：18即当充分大时，近

4、似服从.9.某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占，以表示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.求：被盗索赔户不少于户，且不多于户的概率.解（1），所以，（2）.10.某厂生产的产品次品率为，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？解：设每盒中装只产品，合格品数，，则18所以解得，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。11.某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为，利用中心极限定理：（1）计

5、算同时用电户数在户以上的概率？（2）若每户用电瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以的概率保证供电？解以表示用电高峰时同时用电的户数（1）依题意，，又，，于是据定理：（2）设电站至少具有瓦发电量，才能的概率保证供电，则因为要：18查表得：得即电站具有瓦发电量，才能以的概率保证供电.（B）1、设随机变量服从参数为的指数分布，相互独立，且都与的分布相同，求当时，依概率收敛的极限.（答案：）2、设相互独立，且分布相同，存在，则根据独立同分布的中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，求分布参数.（答案：）3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50kg

6、，标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于？（答案：）习题六1.设是来自上均匀分布的样本，末知，求样本的联合密度函数解:2.设总体服从参数为的泊松分布，其概率分布律为：18求：样本的联合分布律为：解：.3．若总体，其中已知，但末知，而为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数，所以不是统计量.4.总体的一组容量为的样本观测值为：，求经验分布函数.解:

7、将样本观测值重新排序为：，所以经验分布函数为：185.来自总体的一组样本观测值为：求样本均值，样本方差和样本标准差.解：，，.6.在总体中随机抽取一容量为的样本，求样本均值在到之间的概率.解：由知故所求概率为.187.设随机变量与相互独立，且，证明.证明：由于，则据分布的定义，.8.若对总体有，，取的容量为的样本，样本均值为，问多大时，有解：由，知即查表得，即.9.设总体，，并且，相互独立，现从两总体中分别抽取容量为的样本，样本均值分别为，，求.18解：.10.设总体，都服从正态分布，并且，