天津工业大学2004-2005试题及答案

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1、2004-2005学年线性代数试题一、填空题（每小题3分，共12分）1行列式2设矩阵，则矩阵的秩3设为三阶矩阵，为其伴随矩阵，，则4设向量组（I）：和向量组（II）：的秩分别是和，且（I）中每个向量都可由（II）线性表示，则和的关系是二、选择题（每小题3分，共12分）1排列的逆序数为（）（）（）（）（）2一个维向量组（）线性相关的充分必要条件是（）（）含有零向量（）有两个向量的对应分量成比例（）有一个向量是其余向量的线性组合（）每一个向量是其余向量的线性组合3已知，方阵的特征值为，则的特征值为（）（

2、）（）（）（）4二次型，当满足（）时是正定二次型。（）（）（）（）三、（10分）计算行列式四、计算下列各题（每小题8分，共24分）1讨论向量组，，的线性相关性。2解矩阵方程3已知矩阵与相似，求与。五、计算题（15分）当取何值时，线性方程组有解？在有解时，求出它的通解。六、计算题（15分）求一个正交变换，将二次型化为标准形。七、解答下列各题（每小题6分，共12分）1设方阵满足，证明：矩阵及都可逆，并求及.2设是某个齐次线性方程组的基础解系，问，是否也可构成该方程组的基础解系？并证明所得结论。2004-

3、2005学年线性代数试题参考答案一．填空题（每小题3分，共12分）1行列式2设矩阵，则矩阵的秩3设为三阶矩阵，为其伴随矩阵，，则4设向量组（I）和向量组（II）的秩分别是和，且（I）中每个向量都可由（II）线性表示，则和的关系是二、选择题（每小题3分，共12分）1排列的逆序数为（）（）（）（）（）2一个维向量组（）线性相关的充分必要条件是（）（）含有零向量（）有两个向量的对应分量成比例（）有一个向量是其余向量的线性组合（）每一个向量是其余向量的线性组合3已知，方阵的特征值为，则的特征值为（）（）（）

4、（）（）4二次型，当满足（）时，是正定二次型。（）（）（）（）三、（10分）计算行列式解：原式四、计算下列各题（每小题8分，共24分）1讨论向量组，，的线性相关性。解：当时，向量组线性无关；当时，向量组线性相关。2解矩阵方程解：3已知矩阵与相似，求与。解：与相似与的特征值相等而的特征值为故的特征值也为由特征值的性质知即故五、计算题（15分）当取何值时，线性方程组有解？在有解时，求出它的通解。解：对增广矩阵做初等行变换可知：当时，方程组有无穷多解。其通解为其中为任意常数。六、计算题（15分）求一个正交

5、变换，将二次型化为标准形。解：二次型的矩阵形式为令得特征值为当时，解方程组，得，显然，是正交的，单位化为，当时，解方程组，得单位化为故正交变换为且有七、解答下列各题（每小题6分，共12分）1设方阵满足，证明：矩阵及都可逆，并求及证明：故可知可逆，故可知可逆，2设是某个齐次线性方程组的基础解系，问，是否也可构成该方程组的基础解系？并证明所得结论。解：显然，是该方程组的解下证，的线性无关性设有一组数，，使得即线性无关，故而故方程组只有零解，故，线性无关于是，可构成该方程组的基础解系。