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1、本科生学年论文论文题目 浅谈黎曼积分与勒贝格积分学生姓名 学生学号专业名称 数学与应用数学 指导教师 陈一虎 数学系2009年12月日7浅谈黎曼积分与勒贝格积分指导教师：陈一虎作者简介：姓名（1986—），女（汉），宁夏石嘴山市姓名摘要：分析了黎曼积分和勒贝格积分之间的区别与联系，以及它们的性质.关键词：黎曼积分；勒贝格积分；积分权限定理黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容.就可积函数的范围来看,勒贝格积分比黎曼积分更广泛.这两种积分既有密切的联系,又有本质的区别.若函数在上黎曼可积,则它必在上勒贝格
2、可积,但勒贝格可积不一定黎曼可积.本文将从积分产生的背景,积分的定义,积分区域的可加性,可积函数的连续性,积分权限定理,绝对可积性,积分的几何意义七个方面阐述它们的区别.1积分产生的背景1.1黎曼积分产生的背景1.1.1曲边梯形的面积把区间分割成个小区间,再用直线把曲边梯形分割成个小曲边梯形.、、、、、、、、、、、、、、、、、、.当分割的分点较多,又分割的较细密时,由于为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大.从而可用这些小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.于是，这个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积的近似值,既、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
3、、、、、、1.1.2变力作功设质点受力的作用沿轴由点移动到点,并设处处平行于轴,为变力,它连续依赖于质点所在位置的坐标,既为连续函数,故在很小的一段位移区间上可以近似地看作一常量,类似于求曲边梯形面积那样,把分割,在每个小区间上任取一点,于是,质点从移动到,力所作的功就近似等于,从而,同样，对7作无限细分时,右边的和式与某一常数无限接近,则就把此数定义为变力所作的功.1.2勒贝格积分产生的背景黎曼将柯西原来只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的积分,从而扩大了积分的应用范围.但是即使在有界函数范围内,积分还是存在着很大的缺点.鉴于积分的缺陷,人们长期以来就致
4、力于改进的尝试,直到1902年法国数学、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2积分的定义2.1黎曼积分的定义定义1设是定义在上的有界函数.任取一分点组将区间分成个部分,在每一个小区间上任取一点.作和,令,如果对任意的分法与任意的选取的点集,当时,（）,有则称函数在区间上黎曼可积.数称为在上的黎曼积分.记作2.2勒贝格积分的定义定义2设是一个勒贝格可测集,.是定义在上的勒贝格可测函数,又设是有界的.既存在实数,使得.在中任取一分点组记并任取.作和如果对任意的分法与的任意取法,当时,趋于有限的极限,则称它为在上关于勒贝格测度的积分.记作.定义域分小而产
5、生的,而勒贝格节分是划分函数的值域而产生的.前者的优点是的度量容易给出,但当划分的细度充分小时,函数在上的振、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、73黎曼积分和勒贝格积分的性质3.1积分区域的可加性3.1.1黎曼积分区域的可加性黎曼积分具有有限可加性.即若（均为有限区间），则有但是黎曼积分不具有可数可加性.例1令则从而有3.1.2勒贝格积分区域可加性勒贝格积分它不仅具有有限可加性,而且还具有可数可加性,克服了黎曼积分的缺陷.定理1（积分的可数可加性）设在可测集上积分确定,且7其中各为互不相交的可测集.则3.2可积函数的连续性
6、连续函数必是黎曼可积函数,当然也必是勒贝格可积函数.3.2.1黎曼可积函数的连续性定理2为上的连续函数,则在上可积.定理3若是上只有有限个间断点的有界函数,则在上可积.那么由上面可知,具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢?勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件:函数在上黎曼可积的充要条件是在上的一切间断点构成一个零测度集.这说明黎曼函数是几乎处处连续的.例2黎曼函数穷多个有理点.即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个.但这个函数在上仍然是黎曼可积的,事实上、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3.2.2勒贝格可积函数的连续性设是可测集上的连续函数,
7、则在上勒贝格可积的充要条件是在上勒贝格可测.对于几个集合来说,凡是波雷尔集都是勒贝格可测集.特别地,有限区间是波雷尔集,因而是可测集.对于函数来说,可测集上的连续函数是可测函数.特别地,、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、鲁津定理设是上有限的可测函数,且对存在闭子集使在上是连续函数,且.简言之,在上有限的可测函数是“基本连续”的函数.对于黎曼可积函数的情形例3狄利克雷(Dirichlet)函数7是、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，从而是勒贝格可积的.3.3积分权限定理3.3.1黎曼积分权限定理我们知道一
