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时间:2018-09-17
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1、浓度配比与平均数问题一、一些简单的问题 求平均数可以产生许多数学题,这一节将通过一些简单的例子,增加对“平均”这一概念的理解. 例2小明4次语文测验的平均成绩是89分,第5次测验得了97分,5次测验的平均成绩是多少? 解:按照例1中的两种思路,有两种计算方法:先算出5次成绩的总和,再求平均成绩,就有 (89×4+97)÷5=90.6(分). 从算每一次“差”的平均入手,就有 89+(97-89)÷5=90.6(分). 很明显,第二种方法计算简易. 例3小强4次语文测验的平均成绩是87分,5次语文测验的平均成绩是88.4分,问第5次测验他得了多少分? 解:
2、两种思路,两种计算方法: 从总分数(总成绩)来考虑. 第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩 =88.4×5-87×4 =94(分). 从“差的平均”来考虑,平均成绩要提高 88.4-87. 因此,第5次得分应是 87+(88.4-87)×5=94(分). 请大家想一想,例2与例3这两个问题之间的关系. 例4小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这一次要考100分,才能把平均成绩提高到86分,问这一次是第几次测验? 解:平均每次要提高(86-84)分,这一次比原来的平均成绩多了(100-84)分,平均分摊在每一次上,可以分摊多少次呢? (100-84)
3、÷(86-84)=8(次). 因此这一次测验是第8次. 例5寒假中,小明兴致勃勃地读《西游记》,第一天读83页,第二天读74页,第三天读71页,第四天读64页,第五天读的页数,比五天中平均读的页数还多3.2页,问小明在第五天读了多少页? 解:前四天,每天平均读的页数是 (83+74+71+64)÷4=73(页). 很明显,第五天读的页数比73页多,由此平均数就增加了.为了便于思考,画出下面的示意图: 图上“73”后面的虚线,表示第五天后增加的平均数,现在要用3.2去补足这些增加的平均数值,3.2共要补足四份,每份是 3.5÷4=0.8. 由此就知道,第五天
4、读的页数是 73+0.8+3.2=77(页). 例6甲、乙、丙三人,平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,甲比丙重2千克.求乙的体重. 解:甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克,也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6(千克).已知甲比丙重2千克,就得出乙比丙多 3×2-2=4(千克). 从方法2知道 丙的体重+差的平均=三人的平均体重. 因此,丙的体重=63-(3×2)÷3 =61(千克). 乙的体重=61+4=65(千克). 例7下面是一串有规律的数 5,9,13,17,21,25,29. 从小到大排到,后一个数与前一个数
5、的差都是4,求这串数的平均数. 解:上面共有7个数,第2个数比第1个数多4,而第6个数比第7个数少4.因此,第1个和第7个的平均数(5+29)÷2=17,与第2个和第6个的平均数(9+25)÷2=17是相等的.同样道理,第3个和第5个的平均数也是17.由此,可以得出这串数的平均数,就是头、尾两数的平均值17. 当把一些数排列好前后次序,相邻的两个数,后一个减前一个的差都相等,这列数,就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短,不论它有多少数,总有一个基本性质:它的所有数的平均数,就是头、尾两数的平均数.很明显,当等差数列有奇数个数时,这一平均数恰
6、好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时,这一平均数也就是最中间两个数的平均数. 利用这一性质,我们很容易求一个等差数列的所有数之和,它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是 (5+29)÷2×7=119. 例8小强在前五天平均每天做了3.6道数学题,第四、五两天共做了5题.第六天,为了使后三天的平均数超过六天的平均数,第六天他至少要做多少题? 解:(前三天题数÷3+后三天题数÷3)÷2=六天题数÷6. 因此,只要后三天平均数超过前三天平均数,也就是后三天做的题数,比前三天做的题数多,后三天的平均数就超过六天平均数了. 前三天做的题数是 3.6×5-5
7、=13(题). 第四、五天已做了5题,13-5=8,小强第六天至 少要做9题. 答:小强第六天至少要做9题.习题一 1.4位小朋友,他们的体重分别是32.3千克,29.8千克,34.2千克,28.5千克,他们的平均体重是多少千克? 2.8位同学在某次考试中,最高得分是95分,最低得分是65分.他们8人的平均成绩87.5分,去掉最高得分与最低得分后,其余6位同学的平均成绩是多少? 3.全班有50人,其中15人9岁,17人10岁,18人11岁,那么这个班的平均年龄是多少岁? 4.小明家共有5个人,如果不算小明,其余4
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