课时训练19 空间向量与空间角

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1、课时训练19　空间向量与空间角一、综合题1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则(　　).　　　　　　　　　　　　　　A.α=θB.α=π-θC.cosθ=

2、cosα

3、D.cosα=

4、cosθ

5、答案:D2.已知A∈α,P∉α,,平面α的一个法向量n=,则直线PA与平面α所成的角为(　　).A.30°B.45°C.60°D.150°答案:C解析:设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=

6、cos<,n>

7、=.∴θ=60°.3.如图,在棱

8、长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　).A.B.C.D.答案:D解析:如图,建立坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,∴,.∴cos<>=.4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为(　　).A.60°B.90°C.105°D.75°答案:B解析:取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.∴cos<>==0.∴AB1与C1B所

9、成的角为90°.5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　).A.120°B.45°C.135°D.60°[来源:www.shulihua.net]答案:B解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有可取n=(1,0,1

10、),又平面EAD的法向量为=(1,0,0),所以cos?n,?=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　).A.60°B.90°C.45°D.以上都不对答案:B解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(

11、0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos==-1.所以=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.7.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为边长是1的正方形,PA=2,则AB与PC的夹角的余弦值为　　　　. 答案:解析:由于··()=··=1××co

12、s45°=1,又

13、

14、=1,

15、

16、=,∴cos??=.8.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为　　　　. 答案:30°解析:以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设OD=SO=OA=OB=OC=a,[来源:www.shulihua.net]则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,从而=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的一个法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>=.[来源

17、:www.shulihua.net]所以<,n>=60°.所以直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.9.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值.解:如图所示,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=AB=a,AC=b.连结BD,与AC交于点O,取AD的中点F,连结OF,OE,EF,AE,则A(0,0,0),C(b,0,0),B(0

18、,a,0),,所以D(b,-a,0),P(0,0,a),所以E,O=(b,0,0).因为·=0,所以.因为,所以·=0,所以.因此∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成的角.因为cos<>=,所以平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值为.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求cos<>;(2)求直线AD与平面ANM所成角的大小;(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的大小