高中新课程数学（新课标人教b版）必修一3.3《幂函数》学案2

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1、幂函数中的三类讨论题在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．　　类型一：求参数的取值范围．　　例1　已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）

2、w.ks5u.com　　例2　已知函数，设函数，问是否存在实数q（q<0），使得g（x）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．　　分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．　　解：∵，则．　　假设存在实数q（q<0），使得g（x）满足题设条件，　　设任意且，则．　　若∈（－∞，－４]，易知，要使在（－∞，－4］上是减函数，则应有恒成立．∵，∴．而，∴．　　从而要使恒成立，则有，即．　　若∈（－4，0），易知，要使f（x）在（－4，0）上是增函数，

3、则应有恒成立．∵，　　∴，而，∴．　　要使恒成立，则必有，即．　　综上可知，存在实数，使得在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，0）上是增函数．　　类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况.www.ks5u.com　　例3　讨论函数在时，随着x的增大其函数值的变化情况．　　分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．　　解：（１）当，即或时，为常函数；　　（２）当，即或时，此时函数为常函数；　　（３）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；　　（４）当，即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；　　（５）当，即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增

4、大；　　（６）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．www.ks5u.com借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．例１　比较下列各组中两个值的大小：（1）；（2），．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．（1）∵幂函数在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，∴；（2）∵幂函数在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，∴>．例2　函数是幂函数，比较与的大小．解析：∵是幂函数，　　∴，解得∴．∵函数在（0，＋∞）上是增函数

5、，且a＞b＞0，∴．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．例３　比较的大小．解析：，．∵幂函数在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜＜1.21，∴．∴．三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．www.ks5u.com例４　比较0.8与0.9的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.9或0.8．∵＞0，∴幂函数在（０，＋∞）上是增函数．又0.8＜0.9，∴0.8＜0.9．又0＜0.9＜1，指数函数

6、在（0，＋∞）上是减函数，且＞，∴0.9＜0.9．综上可得0.8＜0.9．四、模型函数法若函数满足性质：等，则可以认为其模型函数为幂函数．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．例５　已知函数满足，且f（8）=4，则_________（填“＞、=、＜”）．解析：的原型函数是（为常数），又f（8）=4，∴，∴．于是，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，．幂函数解析式的求法对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下：一、利用幂函数的定义www.ks5u.c

7、om例１　已知函数是幂函数，求此函数的解析式．解：∵是幂函数，∴y可以写成如下形式（是常数）．∴，解得．当时，有（2为常数），（－1为常数）．∴函数的解析式为或．评注：幂函数（x为自变量，是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m后要注意检验幂指数是否为常数．二、利用幂函数的图象例２　若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．分析：对于幂函数（是常数）而言，要使幂函数的图象不过