数学人教b必修1第三章3.1.1　实数指数幂及其运算

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1、3.1.1　实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a的n次幂等于n个a的连乘积，即叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并规定a1＝a.(2)正整指数幂在an中，n是正整数时，an叫做正整指数幂．正整指数幂具有以下运算法则：①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn；③＝am－n(a≠0，m＞n)；④(ab)m＝ambm.其中m，n∈N＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m＞n，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a0＝1(a≠0)；②a－n＝(a≠0，n∈N＋)．这样，上面的四

2、条法则可以归纳为三条：①am·an＝am＋n；②(ab)n＝anbn；③(am)n＝amn.其中m，n∈Z.同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a2b3)－2·(a5b－2)0÷(a4b3)2.解：原式＝＝(a－4·a－8)·(b－6·b－6)＝a－12b－12.2．根式如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．当有意义时，式子叫做根式，

3、n叫做根指数，a叫做被开方数．正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．n次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)()n＝a(n＞1，n∈N＋)，当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0(a＜0时无意义)；(2)＝析规律关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．[来源:www.shulihua.net]负数只有奇次根，算术方

4、根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】已知＝－a－1，则实数a的取值范围是__________．解析：∵＝

5、a＋1

6、，∴

7、a＋1

8、＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：(1)；(2).解：(1)原式＝(－2)＋

9、－2

10、＋(－2)＝－2＋(2－)＋(－2)＝－2.(2)原式＝＝(1＋)＋(－1)＝.辨误区根式运算应注意的问题利用的性质求值运算时，要注意n的奇偶性．特别地，当n为偶数时，要注意

11、a的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：[来源:www.shulihua.net]①＝(a＞0)；②＝()m＝.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．与表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像＝中的a，则需要a≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；(3)(a

12、b)α＝aαbα(其中a＞0，b＞0，α，β∈Q)．析规律有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：＝a－b(a＞0，b＞0)；(a＞0，b＞0)．【例3－1】求值：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1).(2).(3).(4).点技巧有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根

13、式的运算，像，这样反而不易求解．【例3－2】求下列各式的值：(1)；(2).解：(1)原式＝.(2)原式＝.4．无理指数幂(1)一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数；(2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：①aα·aβ＝aα＋β(a＞0，α，β是无理数)；[来源:www.shulihua.net]②(aα)β＝aαβ(a＞0，α，β是无理数)；③(ab)α＝aαbα(a＞0，b＞0，α是无理数)．【例4】求值：(1)；(2).解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝52＋21＝27.5．指数幂(根

14、式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝＝，由于(－3